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Tem uma demonstra��o legal usando gr�fico e o
fato de o centro de massa de um poligono convexo estar no seu interior(acho que
na verdade isso tamb�m envolve fun��es convexas se vc quiser ser mais
detalhista)...
Fa�a o gr�fico da fun��o ln(x)
pegue n pontos sobre esse gr�fico
(ln(a1), ln(a2) .... ln (an) )
Desenhe o poligono correspondente a esses n
pontos... ele ficar� "abaixo" da curva do ln.. seu centro de massa( de
coordenada y = (ln(a1), ln(a2) .... ln(an))/n)) � um ponto dentro desse
poligono...
Agora pegue o ponto
ln((a1+a2+a3+...an)/n) sobre o
gr�fico..
Esse ponto est� acima do poligono(pois est� na
curva), logo, acima do seu centro de massa..
ent�o...
ln((a1+a2+a3+...an)/n) >= (ln(a1), ln(a2)
.... ln (an))/n)
ln (a1+a2+...an)/n) > = ln ((a1.a2.a3..an)^(1/n)
e como ln � crescente...
(a1+a2+...an)/n) >= (a1.a2.a3..an)^(1/n) .:. Ma
>= Mg
tem outras demonstra��es tamb�m... acho que vc deve
achar na internet(caso alguem n�o poste)
[]�s
Igor
----- Original Message -----
Sent: Thursday, September 02, 2004 11:51
PM
Subject: [obm-l] Desigualdade de
M�dias
Ol�
pessoal.
Ultimamente eu me deparei com uma
quest�o de m�dia aritm�tica x geom�trica e fiquei curioso pra saber a
generaliza��o da desigualdade da mesma. Dei uma olhada no arquivo da lista e
achei esse link onde o Morgado mostrou: http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.200007/msg00188.html
Entendi o modo como foi feito para
quantidade de n�meros potencias de 2, mas n�o compreendi os passos utilizados
na indu��o. Algu�m poderia detalhar melhor os passos da demonstra��o e/ou
mandar outras demonstra��es dessa generaliza��o?
Um abra�o,
Douglas
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