Re: [obm-l] Erros da Eureka 02

["Osvaldo Mello Sponquiado" <1osv1@xxxxxxxxxx>]

Sim, procede.

O problema é o seguinte:
5) 	Quais são as possíveis áreas de um hexágono com 
todos os ângulos 	iguais e cujos lados medem 
1,2,3,4,5 e 6 em alguma ordem?

Sejam h_1, h_2, h_3, h_4, h_5 e h_6 os seis lados do 
hexágono dispostos nessa ordem.
A medida de cada angulo interno(i) é dada por i=(1/6).
(6-2).180º=120°

Faço a construçao de tres triangulos atraves do 
prolongamento das retas suportes aos lados h_1, h_3 e 
h_5 (faça um desenho).
Pelo Geometria é facil verificar que os angulos dos 
tres triangulos menores formadas são todos 60º, logo 
são equilateros. Da mesma maneira se verifica que o 
triângulo maior é equilátero.
Assim a área do hexágono vai corresponder a área do 
triangulo maio menos a  area dos tres triangulos 
menores.
Sendo l o lado de um triângulo equilátero é valida a 
formula Area=S=l^2.sqrt(3)/4
O lado do triangulo equilatero maior mede 
h_1+h_2+h_3=h_3+h_4+h_5=h_5+h_6+h_1=L
e os lados dos triangulos menores são: h_1, h_3 e h_5
Assim a area do hexágono é dada por S(Hexágono)=[sqrt
(3)/4]*(L^2-h_1^2-h_3^2-h_5^2)=[sqrt(3)/4].
[(h_1+h_2+h_3)^2-h_1^2-h_3^2-h_5^2]
(h_1,h_2,h_3,h_4,h_5,h_6) é uma certa reordenação de 
(1,2,3,4,5,6) pelo enunciado.

Devemos fazer tal análise lembrando que
h_1+h_2+h_3=L
h_3+h_4+h_5=L
h_5+h_6+h_1=L
e
h_1+h_2+h_3+h_4+h_5+h_6=1+2+3+4+5+6=21

Como o triangulo é equilatero cada lado mede um terço 
do perimetro, ou seja, 21/3 = 7, logo


h_1+h_2+h_3=7
h_3+h_4+h_5=7
h_5+h_6+h_1=7

Bom, agora vou fixar um dos valores possíveis (1) dos 
lados em um certo lado, digamos, h_1=1 e analisar os 
casos:

1 + h_2+h_3=7
h_3+h_4+h_5=7
h_5+h_6+ 1 =7

a partir daqui ele analisa todos os casos possíveis da 
mesma maneira como foi descrito pela revista fazendo a 
correção
de 'v + x  =  y  –  u' para v-x=y-u pois ele subtraiu 
as igualdades, membro a membro.

Espero ter ajudado,
[]'s










> Não sei se há um errata ulterior. Mas meus 
apontamentos procedem, não 
> procedem ?
> 
> 
> Em uma mensagem de 31/8/2004 23:08:37 Hora padrão 
leste da Am. Sul, 
> 1osv1@bol.com.br escreveu:
> 
> 
> > 
> > Provavelmente este erro foi corrigido em alguma 
errata 
> > de uma edição da Eureka posterior a esta, verifique.
> > Caso contrário envie um e-mail para o setor de 
edição 
> > da revista.
> > 
> > 
> > > Em uma mensagem de 28/8/2004 02:07:17 Hora padrão 
> > leste da Am. Sul, 
> > > Faelccmm@aol.com escreveu:
> > > 
> > > 
> > > > 
> > > > Olá pessoal, 
> > > > 
> > > > Comecei a estudar as revistas "Eureka" há pouco 
> > tempo e estou encontrando 
> > > > erros. 
> > > > Na revista nº 01 vi erros na solução da 1º 
questão 
> > da III Olimpíada de Maio 
> > > > (nível 1) e na solução da 5º questão da III 
> > Olimpíada de Maio (nível 2). 
> > > > Neste última, escreve-se  v + x  = y - u
> > > 
> > > > , em que deveria ser   v - x  = y - u
> > > 
> > > > . 
> > > 
> > > > 
> > > > Deixando de lado este erro, tive uma dúvida em 
> > relação à solução desta 
> > > > última questão cujo enunciado é: 
> > > > 
> > > > " Quais são as possíveis áreas de um hexágono 
com 
> > todos os ângulos 
> > > > iguais e cujos lados medem 1,2,3,4,5 e 6 em 
alguma 
> > ordem ?" 
> > > > 
> > > > SOLUÇÃO: 
> > > > 
> > > > Sejam x, y, z, u, v, w os lados consecutivos do 
> > hexágono. Prolongamos os 
> > > > lados y, u e w  e obtemos um triângulo 
equilátero 
> > (Por quê ? Não precisam 
> > > > responder esta parte, pois já consegui provar 
> > porque ele é equilátero). A área é 
> > > > igual à área deste triângulo equilátero menos 
as 
> > áreas de três triângulos 
> > > > equiláteros de lados x, z e v. 
> > > > Área do hexágono: {[sqrt(3)/4]*[(x+y+z)^2 - 
x^2 - 
> > v^2 - z^2]} (Como chegou 
> > > > neste valor para a área ? resolvendo 
> > > cheguei numa resposta para a área muito parecida 
com 
> > a que está na revista. Minha 
> > > resposta para a área foi: {[sqrt(2)/4]*[(x+y+z)
^2 - 
> > x^2 - v^2 - z^2]}  
> > > > 
> > > > 
> > > > Ps: O restante da solução eu entendi. 
> > > > 
> > > 
> > > 
> > > 
> > 
> > Atenciosamente,
> > 
> > Osvaldo Mello Sponquiado 
> > 2º ano em Engenharia Elétrica 
> > UNESP - Ilha Solteira
> > 
> 
> 
> 

Atenciosamente,

Osvaldo Mello Sponquiado 
2º ano em Engenharia Elétrica 
UNESP - Ilha Solteira

 
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