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Re: [obm-l] Erros da Eureka 02
Sim, procede.
O problema � o seguinte:
5) Quais s�o as poss�veis �reas de um hex�gono com
todos os �ngulos iguais e cujos lados medem
1,2,3,4,5 e 6 em alguma ordem?
Sejam h_1, h_2, h_3, h_4, h_5 e h_6 os seis lados do
hex�gono dispostos nessa ordem.
A medida de cada angulo interno(i) � dada por i=(1/6).
(6-2).180�=120�
Fa�o a constru�ao de tres triangulos atraves do
prolongamento das retas suportes aos lados h_1, h_3 e
h_5 (fa�a um desenho).
Pelo Geometria � facil verificar que os angulos dos
tres triangulos menores formadas s�o todos 60�, logo
s�o equilateros. Da mesma maneira se verifica que o
tri�ngulo maior � equil�tero.
Assim a �rea do hex�gono vai corresponder a �rea do
triangulo maio menos a area dos tres triangulos
menores.
Sendo l o lado de um tri�ngulo equil�tero � valida a
formula Area=S=l^2.sqrt(3)/4
O lado do triangulo equilatero maior mede
h_1+h_2+h_3=h_3+h_4+h_5=h_5+h_6+h_1=L
e os lados dos triangulos menores s�o: h_1, h_3 e h_5
Assim a area do hex�gono � dada por S(Hex�gono)=[sqrt
(3)/4]*(L^2-h_1^2-h_3^2-h_5^2)=[sqrt(3)/4].
[(h_1+h_2+h_3)^2-h_1^2-h_3^2-h_5^2]
(h_1,h_2,h_3,h_4,h_5,h_6) � uma certa reordena��o de
(1,2,3,4,5,6) pelo enunciado.
Devemos fazer tal an�lise lembrando que
h_1+h_2+h_3=L
h_3+h_4+h_5=L
h_5+h_6+h_1=L
e
h_1+h_2+h_3+h_4+h_5+h_6=1+2+3+4+5+6=21
Como o triangulo � equilatero cada lado mede um ter�o
do perimetro, ou seja, 21/3 = 7, logo
h_1+h_2+h_3=7
h_3+h_4+h_5=7
h_5+h_6+h_1=7
Bom, agora vou fixar um dos valores poss�veis (1) dos
lados em um certo lado, digamos, h_1=1 e analisar os
casos:
1 + h_2+h_3=7
h_3+h_4+h_5=7
h_5+h_6+ 1 =7
a partir daqui ele analisa todos os casos poss�veis da
mesma maneira como foi descrito pela revista fazendo a
corre��o
de 'v + x = y � u' para v-x=y-u pois ele subtraiu
as igualdades, membro a membro.
Espero ter ajudado,
[]'s
> N�o sei se h� um errata ulterior. Mas meus
apontamentos procedem, n�o
> procedem ?
>
>
> Em uma mensagem de 31/8/2004 23:08:37 Hora padr�o
leste da Am. Sul,
> 1osv1@bol.com.br escreveu:
>
>
> >
> > Provavelmente este erro foi corrigido em alguma
errata
> > de uma edi��o da Eureka posterior a esta, verifique.
> > Caso contr�rio envie um e-mail para o setor de
edi��o
> > da revista.
> >
> >
> > > Em uma mensagem de 28/8/2004 02:07:17 Hora padr�o
> > leste da Am. Sul,
> > > Faelccmm@aol.com escreveu:
> > >
> > >
> > > >
> > > > Ol� pessoal,
> > > >
> > > > Comecei a estudar as revistas "Eureka" h� pouco
> > tempo e estou encontrando
> > > > erros.
> > > > Na revista n� 01 vi erros na solu��o da 1�
quest�o
> > da III Olimp�ada de Maio
> > > > (n�vel 1) e na solu��o da 5� quest�o da III
> > Olimp�ada de Maio (n�vel 2).
> > > > Neste �ltima, escreve-se v + x = y - u
> > >
> > > > , em que deveria ser v - x = y - u
> > >
> > > > .
> > >
> > > >
> > > > Deixando de lado este erro, tive uma d�vida em
> > rela��o � solu��o desta
> > > > �ltima quest�o cujo enunciado �:
> > > >
> > > > " Quais s�o as poss�veis �reas de um hex�gono
com
> > todos os �ngulos
> > > > iguais e cujos lados medem 1,2,3,4,5 e 6 em
alguma
> > ordem ?"
> > > >
> > > > SOLU��O:
> > > >
> > > > Sejam x, y, z, u, v, w os lados consecutivos do
> > hex�gono. Prolongamos os
> > > > lados y, u e w e obtemos um tri�ngulo
equil�tero
> > (Por qu� ? N�o precisam
> > > > responder esta parte, pois j� consegui provar
> > porque ele � equil�tero). A �rea �
> > > > igual � �rea deste tri�ngulo equil�tero menos
as
> > �reas de tr�s tri�ngulos
> > > > equil�teros de lados x, z e v.
> > > > �rea do hex�gono: {[sqrt(3)/4]*[(x+y+z)^2 -
x^2 -
> > v^2 - z^2]} (Como chegou
> > > > neste valor para a �rea ? resolvendo
> > > cheguei numa resposta para a �rea muito parecida
com
> > a que est� na revista. Minha
> > > resposta para a �rea foi: {[sqrt(2)/4]*[(x+y+z)
^2 -
> > x^2 - v^2 - z^2]}
> > > >
> > > >
> > > > Ps: O restante da solu��o eu entendi.
> > > >
> > >
> > >
> > >
> >
> > Atenciosamente,
> >
> > Osvaldo Mello Sponquiado
> > 2� ano em Engenharia El�trica
> > UNESP - Ilha Solteira
> >
>
>
>
Atenciosamente,
Osvaldo Mello Sponquiado
2� ano em Engenharia El�trica
UNESP - Ilha Solteira
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Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela.
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