[obm-l] Re: [obm-l] análise

[Artur Costa Steiner <artur@xxxxxxxxxxxxx>]

Bom, agora interpretando corretamente (e naum da forma esdruxula em que fiz
antes....)
Temos, para todo x em U, que g(x) = |f(x)| = f1(x)^2....+ fn(x)^2 = k, k
constante, e as fi sendo as funcoes coordenadas de f,definidas em U e com
valores em R. A diferenciabilidade de f implica que cada uma das fi seja
diferenciavel em U, existindo assim as sua respectivas derivadas parciais.
Dferenciando-se g com relacao a x1, obtemos g'1(x) = 2*(f1(x)f'11(x)
+....fn(x)f'n1(x) = 0, onde f'i1 eh a derivada parcial de fi com relacao a
x1 e  g'1 eh a derivada parcial de g com relacao a x1. Logo,f1(x)f'11(x)
+....fn(x)f'n1(x = 0. Em forma matricial, temos que (f1(x),
...fn(x).(f'1(x)...,f'1n(x)) = 0, onde . significa produto escalar.  Eh
imediato que  relacoes similares valem para i=2,3...m, de modo que chegamos
aa conclusao de que J (f1(x), ...fn(x)) = 0, sendo J a matriz Jacobiana.
Podemos interpretar J como uma matriz na qual a coluna j eh o gradiente de
fj e (f1(x), ...fn(x) eh um vetor coluna com as componentes de f.
Se f(x) <>0, entao este ultimo vetor coluna naum tem todas suas componentes
nulas. Para que o produto de J por este vetor seja nulo, temos entao
necessariamente que J eh singular, logo det J =0. Concluimos assim que, se f
naum se anular em U, entao a proposicao eh verdadeira.
Se f se anular em algum u de U, entao |f(u| =0. Por hipotese, temos entao
que |f| eh identicamente nula em U, o que implica automaticamente que f
tambem seja ident. nula em U. Neste acso, sua matriz Jacobiana eh
identicamente nula e identicamente nulo eh seu determinante, valendo assim a
prposicao.
Acho que agora estak OK.
Artur  
  

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> --------- Mensagem Original --------
> De: obm-l@mat.puc-rio.br
> Para: "obm-l@mat.puc-rio.br" <obm-l@mat.puc-rio.br>
> Assunto: [obm-l] análise
> Data: 04/08/04 09:09
> 
> 
> Gostaria de uma ajuda no prob. abaixo:
> 
> Seja f:U --> R^n dif. no aberto U de R^m. Se |f(x)| é constante quando x
> varia em U, então o determinante jacobiano de f identicamente nulo.
> 
> Grato, Éder.
> 
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