Re:[obm-l] Limites

[kleinad@xxxxxxxxxx]

Outra maneira seria tomar f(x) = log [(a^x)/x] = x*log a - log x, com a > 1.
Se isso tende a infinito, então (a^x)/x também tende.

f'(x) = log a - (1/x).

Se x > 2/log a, f'(x) é sempre maior que (1/2)*log a pois é crescente.

Assim, f(x) - f(c) = I(x,c)[f'(x)] >= I(x,c)[(1/2)*log a] = (1/2)*(log a)*
(x - c), onde I(x,c)[f(x)] denota a integral definida de f(x) de c até x.

Logo, f(x) >= (1/2)*(log a)*(x-c) + f(c), e obviamente f(x) tende a
infinito, e, como conseqüência, (x/e^x) tende a zero, tomando a = e.

Resta mostrar que x^a/e^x tende a zero. Para isso, basta mostrar que e^x/x^a
tende a infinito.

De fato, tomando e = b^a (b > 1), temos que a a-ésima raiz de e^x/x^a será

b^x/x, e, como b > 1, temos b^x/x -> +oo. Logo, e^x/x^a -> +oo.

Como p(x) eu creio que seja um polinômio qualquer, então podemos separá-lo
em frações simples da forma x^a/e^x, que tendem todas a zero.

[]s,
Daniel



Osvaldo (1osv1@bol.com.br) escreveu:
>
>Olá.
>
>> 2) Prove que Lim p(x)/e^x = 0 quando x tende a
>infinito.
>
>Temos uma indeterminação do tipo +oo/+oo.
>Aplica-se L'Hospital até zerar o numerador, e observe
>que o denominador permanece inalterado, por se tratar
>da função exponencial. Assim teremos o limite da
>constante 0, que dá zero. Acho que é isso, falou.
>
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