Re: [obm-l] Re: [obm-l] Soma de Recíprocos (IMO 2004)

["Domingos Jr." <dopikas@xxxxxxxxxx>]

> Oi Domingos,

Olá, Artur!

> Estah me parecendo que a prova que vc deu tem um detalhe: vc extendeu para o
> caso geral uma condicao que soh eh valida para n=2. O que vc concluiu para
> n=2, acho que naoum pode ser diretamente aplicado para um n>2 generico.

Funciona sim, ela só é um pouco diferente do que se costuma fazer pra 
encontrar mínimos de uma função contínua.

Olhe como a idéia é simples:
- o lema vale para n = 2
- para um n > 2 qualquer, assuma que a solução ótima (minimização) se dá 
num vetor x = (x_1, x_2, ..., x_n) e que existe x_i != x_j.

a restrição é que x_1 + ... + x_n = C, então, se M = (x_i + x_j)/2, o 
vetor (x_1, ..., x_{i-1}, M, x_{i+1}, ..., x_{j-1}, M, x_{j+1}, ..., 
x_n) tem um valor estritamente menor que o valor em x, o que é absurdo, 
logo não pode haver i, j com x_i != x_j na solução ótima.

> Vou sugerir um outro processo. Vc demonstrou o lema para n=2. Admitamos, de
(...)

isso funciona.

> Quando jah estudamos um pouquinho de funcao de diversas variaveis, podemos
> chegar aa conclusao geral muito mais rapidamente pelos multiplicadores de
> Lagrange. Consideremos a funcao g, de x_1.....x_n e L, sendo L o mult. de
> Lagrange, dada por g(x_1,....x_n, L) = 1/x_1 ...+ 1/x_n - L(x_1...+x_n - C).
> Diferenciando-se parcialmente com relacao a cada uma das variaveis x_i e
> igualando a zero, obtemos dg/dx_i = (-1/x_i)^2 - L =0 => x_i = 1/raiz(L),
> para L>0. Difereinado-se com relacao a L e igualando-se a zero, obtemos
> simplesmente x_1 +..x_n = C. Com algumas manipulacoes simples, chegamos
> entao a que x_1....= x_n = C/n.
> No caso geral, a prova de que este eh um minimo globa eh um pouco mais
> complicada que no caso n=2, mas neste caso eh simples.
> Artur

é, dá pra usar Lagrange, teria que fazer alguma manipulação pra mostrar 
que o mínimo local é de fato global, mas achei a demonstração que eu dei 
mais interessante.

agora, você pode tentar resolver a minha proposição:
mostre que o desvio padrão (ou a variância) de {x_1, ..., x_n} é 
"pequeno" quando (x_1 + ... + x_n)(1/x_1 + ... + 1/x_n) <= n^2 +1.

acho que a idéia é usar Lagrange, agora você tem duas restrições:
i) x_1 + ... + x_n = M*n
ii) (x_1-M)^2 + (x_2-M)^2 + ... + (x_n-M)^2 = VAR*n

Dessa forma, fixando a variância podemos ver qual o menor valor do lado 
esquerdo da desigualdade, evidentemente esse menor valor deve ser no 
máximo n^2 + 1.

[ ]'s
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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