Re: [obm-l] ajuda:sequência

[vieirausp@xxxxxxxxx]

Em 12 Jul 2004, obm-l@mat.puc-rio.br escreveu: 


>Em primeiro lugar muito obrigado DOMINGOS JR,percebi também que o limite é 
4,pois a equação é 3L=L^2-4 dando como resposta -1 e 4,como a sequência é de 
termos positivos L=4, só não consegui entender a última parte, que é com 
provar que ela é monótona crescente.Mas precisamente que x_n+1^2>x_n^2.Desde 
já agradeço. 
Ass:Vieira 

> 
>>                                                       1/2 
>> A seqüência {xn} é definida por x_0=0, x_(n+1)=(4+3x_n) . Mostre que 
>{x_n} 
>> é convergente e encontre seu limite. 
>> 
>> 
>> x_(n+1)é o n+1 termo da sequência 
>> x_0 lê-se x zero 
> 
>x_{n+1}^2 - 4 = 3x_n 
>x_n = (x_{n+1} - 2)(x_{n+1} + 2) 
> 
>suponha que o limite existe e seja L. 
> 
>quando n -> oo, x_n ~ x_{n+1}, então se x_n -> L 
>L = L^2 - 4 
>L^2 - L - 4 = 0 
>L = (1 + raiz(1 + 16))/2 
> 
>x_30 = 2.5615528128088302749... bate com todos os dígitos iniciais de L. 
> 
>agora vamos mostrar que o limite existe. 
> 
>(i) vamos mostrar que x_n < L para todo n >= 0. 
>para n = 0 x_0 = 0 < L. 
>para n + 1, veja que x_{n+1}^2 = 4 + x_n < 4 + L = L^2 => x_{n+1} < L 
>então a seq. é limitada superiormente por L. 
> 
>(ii) vamos mostrar agora que ela é monótona crescente: 
>x_{n+1}^2 = 4 + x_n e 
>note que x_{n+1}^2 > x_n^2 pois 
>4 + x_n > x_n^2 
>já que x_n < L 
> 
>de (i) e (ii) temos que a seq. converge para L. 
> 
>desculpe se a minha explicação não foi das memórias mas eu estou bem 
>enferrujado nisso. 
> 
>[ ]'s 
>========================================================================= 
>Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em 
>http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html 
>========================================================================= 
> 
>---------- 

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