Re: [obm-l] ajuda:sequência

["Domingos Jr." <dopikas@xxxxxxxxxx>]

vieirausp@ig.com.br wrote:

>                                                       1/2 
> A seqüência {xn} é definida por x_0=0, x_(n+1)=(4+3x_n)   . Mostre que {x_n} 
> é convergente e encontre seu limite. 
> 
> 
> x_(n+1)é o n+1 termo da sequência 
> x_0 lê-se x zero 

x_{n+1}^2 - 4 = 3x_n
x_n = (x_{n+1} - 2)(x_{n+1} + 2)

suponha que o limite existe e seja L.

quando n -> oo, x_n ~ x_{n+1}, então se x_n -> L
L = L^2 - 4
L^2 - L - 4 = 0
L = (1 + raiz(1 + 16))/2

x_30 = 2.5615528128088302749... bate com todos os dígitos iniciais de L.

agora vamos mostrar que o limite existe.

(i) vamos mostrar que x_n < L para todo n >= 0.
para n = 0 x_0 = 0 < L.
para n + 1, veja que x_{n+1}^2 = 4 + x_n < 4 + L = L^2 => x_{n+1} < L
então a seq. é limitada superiormente por L.

(ii) vamos mostrar agora que ela é monótona crescente:
x_{n+1}^2 = 4 + x_n e
note que x_{n+1}^2 > x_n^2 pois
4 + x_n > x_n^2
já que x_n < L

de (i) e (ii) temos que a seq. converge para L.

desculpe se a minha explicação não foi das memórias mas eu estou bem 
enferrujado nisso.

[ ]'s
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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