Gostaria que vocês da lista fizessem um leitura crítica da solução abaixo do problema proposto:
Seja G um grupo t.q. |G| = p.q, onde p e q são primos. Prove que:
Solução: Como p e q são primos que divdem a ordem de |G|, tem-se que existem a e b em G t.q. |<a>| = p e |<b>| = q. Assim a^p = b^q = e,
onde p e q são os menores inteiros positivos com essa propriedade. Como G é abeliano, temos que (ab)^pq = [(a^p)^q][(b^q)^p] = e, onde pq é menor inteiro positivo com essa propriedade. De fato, suponha que exista um inteiro positivo, m, menor do que pq, t.q. (ab)^m = e. Assim m divide pq e, portanto, m = p ou m = q. Se m = p então (ab)^p = e, i.e., b^p = e, e com isso, p dive q, o que implica que p = q (absurdo!!!). De forma análoga, tem-se que q = p se m = q. Como pq é menor inteiro t.q. (ab)^pq = e, segue-se que |<ab>| = pq = |G|. Mas sendo <ab> um subgrupo de G, temos que G = <ab>. E, portanto, G é cíclico.
Obs.: Serah que há uma solução menor para esse problema? Por exemplo, usando algum dos teoremas de Sylow.
Grato, Éder.