Oi, Domingos:
Serah que nao tem uma demonstracao mais elementar disso?
Por exemplo, baseada no fato de que sen(2x) eh concava no intervalo (0,Pi/2).
Podemos supor que os angulos sao tais que 0 < x1 <= x2 <= ... <= xn < Pi/2.
Assim, se x1 < xn, entao sen(2*(x1 + xn)/2) > (sen(2*x1) + sen(2*xn))/2, de modo que substituindo x1 e xn por (x1+xn)/2 e (x1+xn)/2, obteremos um valor maior para:
SOMA(1<=k<=n) sen(2*xk), o que prova que a soma maxima ocorre quando os angulos sao todos iguais.
[]s,
Claudio.
| De: |
owner-obm-l@mat.puc-rio.br |
| Para: |
obm-l@mat.puc-rio.br |
| Data: |
Sat, 03 Jul 2004 08:28:23 -0300 |
| Assunto: |
Re: [obm-l] Área máxima |
> > Gostaria de saber como faço pra achar o triângulo de área máxima inscrito numa
> > circunferência. É o eqüilátero? E o polígono de n lados com área máxima e inscrito
> > numa é sempre o polígono regular de n lados? Obrigado
>
>
> Vamos ver se eu faço essa (nem sou mto forte em geometria, hehehe).
> Se tivermos um polígono inscrito numa circ., podemos traçar linhas a
> partir do centro até os vértices (essas linhas podem ser degeneradas e
> coincidir com um lado do polígono).
>
> Sejam então 2a_1, 2a_2, ..., 2a_k os k ângulos formados pelos triângulos
> que consistem em um lado do polígono inscrito e dois lados são raios da
> circ.
>
> Se a circ. tem raio 1, um pouco de trigonometria nos diz que a área do
> i-ésimo triângulo é dada por sen(a_1)cos(a_1) = sen(2a_1)/2.
>
> Então temos a função f(a_1, ..., a_k) = 1/2 soma_{i=1}^k sen(2a_i).
> Desejamos maximizar f sujeito a restrição soma_{i=1}^k a_i = PI.
>
> Utilizando Lagrange, temos a missão de maximizar
> L(.) = 1/2 soma_{i=1}^k sen(2a_i) - p[soma_{i=1}^k a_i]
>
> del L / del a_i = cos(2a_i) - p
> logo del L / del a_i = 0 <=> p = cos(2a_i)
> como isso vale para todo i, temos que p = cos(2a_1) = ... = cos(2a_k)
> como 2a_i <= pi , a_1 = a_2 = ... = a_k, logo o polígono é regular.
>
> acho que é isso!
>
> [ ]'s
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> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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