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[obm-l] Subgrupos normais ( correcao )
Ola Pessoal,
Escrever com pressa sempre nos faz cometer erros simplorios e imbecis. A
mensagem abaixo esta
incompleta, pois precisamos impor que N >= 3. Aqui vai uma demonstracao
classica :
Um grupo de ordem 2 e evidentemente abeliano. Um de ordem 4, por ter ordem
quadrado de
um primo, e igualmente abeliano. Considere entao um grupo G de ordem 8.
1) G tem um elemento de ordem 8
Seja "g" tal que |<g>|=8. Entao G=<g> e G e ciclico. Logo, G e isomorfo
Z/8Z.
2) G nao tem um elemento de ordem 8
2.1) G nao tem um elemento de ordem 4
Entao, pelo teorema de Lagrange, segue que todo elemento de G ( diferente da
unidade ) tem ordem 2 e, portanto, G e abeliano ( prove isso ! ). Tomando um
g qualquer pertencente a G
segue que <g>={e,g}. Tomando agora um h pertencente a G-<g>, segue que H =
{e, g, h, gh }
e um subgrupo de G ( prove isso ! ) e, finalmente, tomando k pertencente a G
- H segue que
K = {e, g, h, gh, k, gk, hk, ghk } e um subgrupo de G ( prove isso ! ). Logo
:
G = K = {e, g, h, gh, k, gk, hk, ghk } = {(g^i)(h^j)(k^L) com i,j,L = 0,1 }
A funcao
F:(Z/2Z)X(Z/2Z)X(Z/2Z) -> G
(i_ ,j_, L_ ) -> (g^i)(h^j)(k^L) .... i_ = i barra = classe de
equivalencia de i
E claramente um isomorfismo ( prova isso ! ) e, portanto, G e isomorfo a
(Z/2Z) x (Z/2Z) x (Z/2Z)
NOTA : onde coloquei ( prove isso !) fui honesto, isto e, a prova e
realmente elementar. Estou me
concentrando apenas no essencial.
2.2) G tem um elemento de ordem 4
Seja g pertencente a G tal que |<g>|=4. Entao <g>={e, g, g^2, g^3}. Tomando
um h em
G-<g> segue que {e, g, g^2, g^3, h, gh, (g^2)h, (g^3)h } e um grupo ( prove
isso ! ) e,
portanto, G = {e, g, g^2, g^3, h, gh, (g^2)h, (g^3)h }.
Quem e h^2 ? Ele nao pode ser nenhum dos elementos h, gh, (g^2)h e (g^3)h
pois isto,
por razoes elementares ( prove isso ! ) conduziria a absurdos ( por exemplo
: h^2=h => h=e ...
absurdo, h^2 = gh => h = g ... absurdo ). Logo, h^2 so pode ser igual a um
dos elementos
e, g, g^2 ou g^3.
Quem e hg ? Ele nao pode ser nenhum dos elementos e, g, g^2, g^3 ou h pois
isto,
por razoes elementares ( prove isso ! ) conduziria a absurdos. Logo, hg so
pode ser igual a
um dos elementos gh, (g^2)h ou (g^3)h.
Temos portanto as seguintes certezas e possibilidades :
( certezas )
|G|=8, G=<g,h>, g^4=e
( possibilidades )
h^2 = g^A onde A pode ser 0, 1, 2 ou 3
hg = (g^B)h onde B pode ser 1, 2 ou 3
como hg=(g^B)h => hg(h^(-1))=g^B e como |<g>|=4 segue que B nao pode ser 2,
logo
temos B = 1 ou B=3. Igualmente, h^2 nao pode ser g e nem g^3 pois sendo
|<g>|=4 isto
implicaria |<h>| = 8 ... absurdo. Assim, h^2 = e ou h^2 =^g^2.
Vemos que ficamos reduzidos as possibilidades :
GRUPO 1:
|G|=8, G=<g,h>, g^4=e
h^2= e , hg = gh
GRUPO 2:
|G|=8, G=<g,h>, g^4=e
h^2 = e , hg = (g^3)h
GRUPO 3:
|G|=8, G=<g,h>, g^4=e
h^2=g^2, hg = gh
GRUPO 4:
|G|=8, G=<g,h>, g^4=e
h^2 = g^2, hg = (g^3)h
Observe que, propositalmente, eu escolhi h^2 ( e nao h^4 ... ). Fiz assim
para que os expoentes,
escolhidos minimamente, podessem caracterizar univocamente os grupos. A
menos de isomorfismos
eles sao, portanto, unicos. Agora, eu afirmo que os grupos 1) E 3) sao
isomorfos a Z/4ZxZ/2Z.
( prove isso ! ) A diferenca e devido a existencia de mais de uma dupla de
geradores. O grupo 2) todos ja devem ter reconhecido, e o famoso D4, ou
seja, o grupo das simetrias do octogono.
Quem e o grupo 4 ? Vou contar uma historia pra voces ...
Ha mais de 100 anos atras, um jovem senhor descobriu um tesouro ... Ele
pensou mais ou menos
assim : "Por que eu sou obrigado a pensar que todos os objetos do mundo so
se relacionam de
forma comutativa ? " Por que me obrigam a pensar que, sempre, ab=ba, sejam
quais forem os
objetos "a" e "b" ? Sera que estou ficando louco ? Nao sera isso uma heresia
tao grande quando
querer desobedecer o "sagrado" 5 postulado de Euclides ?
Mas ... ( Um Graaaaaande Mas !!!!! ) Se eu pensar assim eu posso extender a
multiplicacao
entre variaveis complexas para o Universo Tridimensional ... Se eu fizer :
ij = k e ji = -k
jk = i e kj = -i
ki = j e ik = -j
Posso usar QUAdruplas a + bI + cJ + dK de forma que o produto espacial entre
elas segundo o
produto :
(a,b,c,d)*(a',b', c', d') = (aa'-bb'-cc'-dd') + (ab' + ba' + cd' - dc')I +
(ac' + ca' + db' - bd')J +
(ad' + da' + bc' - cb')K
me dá 3 copias de C ( conjunto dos complexos ).
O Jovem Senhor se chamava HAMILTON acabava de descobrir os QUATERNIOS, dando
este nome em virtude de ter sido obrigado a usar 4 valores ( e nao 3, como
ele supos durantes longos 10 anos ! ) e admitir a nao comutatividade na
multiplicacao dos "vetores canonicos".
O Grupo 4 la em cima e o grupo dos QUATERNIOS. Ele e um grupo que todos os
seus subgrupos
sao normais e e uma das Joias da Matematica. Voce sabe que esta diante de um
tal grupo quando :
|G| = 2^N ( A ordem do grupo e uma potencia de 2, N >= 3 )
G=<g,h> ( O grupo e gerado por dois elementos )
g^A = e onde A = 2^(N-1)
h^2 = g^B onde B = 2^(N -2)
hg=(g^C)h onde C = ( 2^(N-1) ) - 1
O grupo G e conhecido por Qn.
Uff ! Que trabalheira Claudio ! Mas a nossa lista merece. Agora fica como
exercicio pra voce provar os fatos elementares que omiti e, sobretudo, que
todos os subgrupos de Q3 sao, de fato, normais.
Um Abraco a Todos
Paulo Santa Rita
5,1709,240604
>From: "Paulo Santa Rita" <p_ssr@hotmail.com>
>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>To: obm-l@mat.puc-rio.br
>Subject: RE: [obm-l] Subgrupos normais
>Date: Thu, 24 Jun 2004 17:56:29 +0000
>
>Oi Caro Claudio,
>
>Procure informacoes sobre o grupo dos quaternios. Aqui vai a definicao
>deles :
>
>|Qn|=2^n, Qn =<x,y>, x^(2^(n-1))=e, y^2=x^(2^(n-2)) e
>y*x=[x^((2^(n-1))-1)]*b
>
>Note que, a menos de isomorfismos, estas relacoes caracterizam univocamente
>este
>grupo.
>
>Um Abraco
>Paulo Santa Rita
>5,1449,240604
>
>>From: "claudio.buffara" <claudio.buffara@terra.com.br>
>>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>>To: "obm-l" <obm-l@mat.puc-rio.br>
>>Subject: [obm-l] Subgrupos normais
>>Date: Thu, 24 Jun 2004 13:48:14 -0300
>>
>>Oi, pessoal:
>>
>>Alguem conhece algum exemplo de grupo nao-abeliano cujos subgrupos sejam
>>todos normais? (ou entao uma prova de que isso eh impossivel)
>>
>>[]s,
>>Claudio.
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