Re: [obm-l] n^i

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxx>]

On Sun, Jun 20, 2004 at 11:50:09PM -0300, Eduardo Henrique Leitner wrote:
> alguém pode me dizer qual é o sentido de elevar algum numero à unidade
> imaginária?
> 
> n^i??
> 
> se nao ouver sentido, daonde surgiu esses teoremas:
> 
> cos (theta) = {e^[i(theta)] + e^[-i(theta)]}/2
> 
> sen (theta) = {e^[i(theta)] - e^[-i(theta)]}/(2i)

A função exponencial e^z é definida para qualquer número complexo z = a+bi
como e^z = e^a cos b + i e^a sen b. Esta definição é a única usual,
ela preserva várias propriedades importantas da exponencial,
entre elas e^(z+w) = e^z e^w e é também a única que respeita vários
conjuntos razoáveis de propriedades. Por exemplo, esta é a única forma
de estender a exponencial real para obter uma função derivável no sentido
de variáveis complexas. Você também pode usar a série de Taylor para
obter esta definição de exponencial complexa, ou dizer que exp é a única
função f derivável nos complexos satisfazendo f(0) = 1 e f'(z) = f(z)
para todo z.

Se a base for outro número real positivo c, definimos c^z = exp(z log(c))
onde este log é tomado na base e. Para responder especificamente a sua
pergunta, definimos

n^i = cos(log(n)) + i sen(log(n)).

[]s, N.
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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