[obm-l] Re: [obm-l] Ajuda²

["Eric" <mathfire@xxxxxxxxx>]

Queria ajuda da turma em algumas questões:

2) O polinômio X a quarta + X² - 2x + 6 adimite 1+ i como raiz,  onde i² = -1. O número de raízes reais desse polinômio é:

a)0 b) 1 c)2 d)3 e)4

 

[Solucao] (a notacao a^b significa "a elevado a b")

A resposta eh a) 0. Veja: como o grau do polinomio eh 4, ele tem no maximo 4 raizes. Ha um teorema que garante que se um polinomio tem coeficientes reais e a+bi eh raiz, entao a-bi tambem eh raiz. Como 1+i eh raiz, entao 1-i tambem eh raiz. Como o polinomio em questao se divide por (X-(1+i)) (porque 1+i eh raiz) e por (X-(1-i)) (porque 1-i tambem eh raiz) entao o polinomio se divide exatamente  por

 

(X - (1+i))(X - (1-i)) = X^2 - 2X + 2.

 

Realizando a divisao obtemos o quociente

X^2 + 2X + 3, logo

 

X^4 + X^2 - 2X + 6 = (X^2 - 2X + 2)(X^2 + 2X + 3)

 

como nem X^2 - 2X + 2 nem X^2 + 2X + 3 tem raizes reais, entao

X^4 + X^2 -2X + 6 tambem nao tem raizes reais.

 

Resposta: a) 0

 

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