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Muito obrigado! Eu tenho prova disso amanha! vc
ajudou bastante!! :)
Eu posso dizer que lim(x->0) (e^x - 1)/x = 1 é
um limite fundamental?
ou numa prova eu precisaria provar
isso?
Abraços
Rossi
----- Original Message -----
Sent: Tuesday, June 08, 2004 4:14
PM
Subject: Re: [obm-l] Continuidade -
Exercício
on 08.06.04 14:44, Fellipe Rossi at felliperossi@superig.com.br
wrote:
Caros amigos da lista, espero que
possam me ajudar ;)
QUESTÃO:
Determine a e b para que f(x) seja contínua em
R.
onde
f(x)=
(e^ax -
1)(x^4 +2) , para x<0
x^5 + 6x^3 +
9x
a*sen(x*pi) + b
para 0<=x<=1/2
8x^3 - 4x^2 - 2x + 1
. para x>1/2
4x^4 -
4x^3 + 5x^2 - 4x + 1
Eu fiz uma das relações entre a e b, vendo os limites laterais da
terceira equação, que, simplificando, ficou: (2x+1) / (x^2
+1)
Assim, a+b =
8/5
Porém quando fui
aplicar a definição de continuidade na primeira equação cai em um limite
indeterminado para os valores de 0 pela esquerda e não consegui levantar a
indeterminação (lembrando que não posso usar L'hôpital pois o professor
vetou).
Será que alguem
ai conseguiria tirar a indeterminação? ou mesmo resolver de outra
maneira?
Ahh! a resposta
é a=72/55 e b=16/55 (o que torna válida a relação a+b= 8/5
).
Agradeço desde
já!
Abraços,
Rossi
O que voce quer eh provar
que lim(x->0) (e^(ax) - 1)/x = 1 sem usar L'Hopital.
Soh que isso
depende de como voce define a funcao exponencial.
Por exemplo, uma
forma eh definir a funcao log:(0,+infinito) -> R como sendo:
log(x) =
Integral(1..x) dt/t
e depois provar que, para quaisquer x, y positivos,
vale log(xy) = log(x) + log(y).
Dai decorre que log eh uma bijecao
infinitamente diferenciavel tal que:.
log(1) = 0;
existe um unico
numero real, representado por e, tal que log(e) = 1;
log'(x) = 1/x para
todo x > 0.
Em seguida, definimos a funcao exp:R ->
(0,+infinito) como sendo a inversa da log, de forma que exp(0) = 1, exp(1) =
e, em geral, exp(x) = e^x.
Finalmente, a derivada de exp em x = 0 eh
igual a:
exp'(0) = lim(h->0) (exp(0+h) - exp(0))/h = lim(h->0) (e^h
- 1)/h.
Mas, como, para todo x real vale log(exp(x)) = x, a regra da
cadeia implica que, para todo x: log'(exp(x))*exp'(x) = 1 ==>
(1/exp(x))*exp'(x) = 1 ==> exp'(x) = exp(x).
Em particular,
exp'(0) = exp(0) = 1, ou seja, lim(h->0) (e^h - 1)/h = 1
Eh facil
ver, a partir disso, que se a <> 0, entao lim(x->0) (e^(ax) - 1)/x
= a, bastando apenas fazer a mudanca de variavel y =
ax.
[]s,
Claudio.
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