Re: [obm-l] supremo

[Lista OBM <obm_lista@xxxxxxxxxxxx>]

Meu caro Cláudio,

não entendi sua pergunta!!!

Claudio Buffara <claudio.buffara@terra.com.br> wrote:

> on 08.06.04 11:39, Lista OBM at obm_lista@yahoo.com.br wrote:
>
> > Seja B(X;R) = {f: X --> R; f limitada}. Gostaria de saber se alguém sabe se existe alguma relação entre o
> > | sup_{x em X}(f(x) - g(x)) | e o sup_{x em X}{| f(x) - g(x) |}, onde f e g estão em B(X;R).
> >
> > Obs.: (i) O símbolo "_" indica índice, por exemplo, x_{0} quer dizer x índice 0;
> >         (ii) X é um subconjunto do conjunto dos reais (denotado por R);
> >        (iii) As "{ }" não precedidas de "_" indica conjunto.
> >
> > Grato desde já, Éder.
> >
> > Oi, Eder:
> >
> > As funcoes f e g sao dadas ou os supremos sao calculados sobre todas as f e g de
> >  B(X;R) alem de todos os x de X ?
> >
> >
> > De qualquer forma, basta considerar a funcao h:X -> R dada por h(x) = f(x) - g(x), pois eh claro que se f e g pertencem a B(X;R) entao h tambem pertence.
> >
> > Assim, sejam:
> > A = sup{h(x)   t.q.   x pertence a X   e   h a B(X;R)};
> > a = inf{h(x)   t.q.   x pertence a X   e   h a B(X;R)};
> > B = sup{|h(x)|   t.q.  x pertence a X   e   h a B(X;R)}.
> >
> > Queremos a relacao entre |A| e B.
> >
> > Se h for dada de antemao, entao vale |A| <= B.
> >
> > Nesse caso, basta mostrar que B = max{|A|,|a|}, o que eh consequencia das desigualdades:
> > B >= |h(x)| >= max{h(x),-h(x)}.
> > e do fato que, para qualquer subconjunto Y de R, vale:
> > sup(-Y) = -inf(Y)  e  inf(-Y) = -sup(Y), onde -Y = {-y  t.q.  y pertence a Y}.
> >
> > Um exemplo onde vale a desigualdade estrita eh:
> > X = [0,1]  e  h(x)
> >  = 3x - 2.
> > Nesse caso:
> > A = 1, a = -2 e B = 2 > 1 = |A|.
> >
> > ***
> >
> > Por outro lado, se os supremos forem tomados sobre todas as funcoes de B(X;R), entao vale a igualdade, pois se a funcao f pertence a B(X;R), entao a funcao |f|, dada por |f|(x) = |f(x)| tambem pertence e, no caso de |f|, os dois supremos sao claramente iguais, pois a funcao toma apenas valores nao-negativos.
> >
> >
> > []s,
> > Claudio.

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