Re: [obm-l] função monótona

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

Title: Re: [obm-l] função monótona

on 05.06.04 10:48, Lista OBM at obm_lista@yahoo.com.br wrote:

> Gostaria que alguém me ajudasse com o problema abaixo:
> Seja f: J --> R uma função monótona, definida no intervalo J. Se a 
>  
> imagem f(J) é um intervalo, prove que f é contínua.
>  
> Obs.: Tentei supondo o contrário, mas não consegui!!!
>  
> Grato, Éder.
>
>
> Suponhamos s.p.d.g. que f seja nao-decrescente (o caso de f nao-crescente eh totalmente analogo).
>  
> Seja a pertencente a J. 
> Seja b = f(a).
>
> Suponhamos, inicialmente, que b pertence ao interior de f(J) e tomemos eps > 0 tal que b - eps e b + eps pertencem a f(J).
>
> Como f eh nao-decrescente, existem d1 > 0 e d2 > 0 tais que: 
> b - eps/2 = f(a - d1)   e   b + eps/2 = f(a + d2)
> Seja d = min{d1,d2}.
>
> Se x pertence a (a - d,a + d), entao:
> a - d1 <= a - d < x < a + d <= a + d1 ==>
> b - eps < b - eps/2 = f(a - d1) <= f(a - d) <= f(x) <= f(a + d) <= f(a + d1) = b + eps/2 < b + eps ==>
> f(x) pertence a (b - eps,b + eps) ==>
> f eh continua em a.
>
> Suponhamos, agora, que b = f(a) = sup(f(J)) e tomemos eps > 0 tal que b - eps pertence a f(J).
>
> Como f eh nao-decrescente, existe d > 0 tal que b - eps/2 = f(a - d).
>
> Alem disso, para todo x em J tal que x > a, f(x) = b, uma vez que b = sup(f(J)).
>
> Se x pertence a (a - d,a + d) inter J, entao:
> b - eps < b - eps/2 = f(a - d) <= f(x) <= f(a) = b < b + eps ==>
> f(x) pertence a (b - eps,b + eps) ==>
> f eh continua em a.
>
> Da mesma forma, provamos que se b = f(a) = inf(f(J)), f eh continua em a.
>
>
> []s,
> Claudio.