Re: [obm-l] Dúvida de Análise!!!

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

Title: Re: [obm-l] Dúvida de Análise!!!

on 05.06.04 16:18, Lista OBM at obm_lista@yahoo.com.br wrote:

> Gostaria que alguém me ajudasse com o problema abaixo:
>  
> Seja f:R --> R contínua, com lim{x->+inf} f(x) = + infinito e lim{x->-inf} f(x) = - infinito. Prove que, para todo c em R dado, existe entre as raízes x da equação f(x) = c uma cujo módulo |x| é mínimo.
>  
> Obs.: Não estou conseguindo interpretar muito bem esse problema.
>  
> Notação: lim{x->-inf} f(x) = limite de f(x) quando x tende a menos infinito
>  
> Grato, Éder Franklin da Silva.
>
>
> lim(x ->+inf) f(x) = +inf  e  lim(x -> -inf) = -inf ==> 
> dado M > 0, existe a > 0 tal que |x| > a ==> f(x) > M  (*).
>
> Como f eh continua e f(R) eh ilimitado (superiormente e inferiormente), o teorema do valor intermediario implica que vai existir, para todo c em R, um elemento b de R tal que f(b) = c. Ou seja, a equacao f(x) = c tem solucao para todo c real.
>
> Dado c em R, seja X = {|x|  |  f(x) = c}.
> Sabemos que X <> vazio.
>
> Em virtude de (*) acima, X eh um conjunto limitado (basta tomar M = |c| e achar o a correspondente. X estarah contido em [0,a] ). 
> Logo, existe k = inf(X). 
>
> Alem disso, X = X+ uniao X-, onde:
> X+ = { x | f(x) = c } 
> e
> X- = { -x | x pertence a X+}
>
> X+ eh a imagem inversa do conjunto fechado {c} pela funcao continua f. 
> Logo X+ eh fechado.
> Obviamente, X- tambem eh fechado.
>
> Assim, X eh fechado, por ser uniao de dois conjuntos fechados.
> Logo, k pertence a X.
>
> Ou seja, pelo menos um dos numeros k ou -k serah uma raiz de f(x) = c de modulo minimo.
>
>
> []s,
> Claudio.