[obm-l] Re: [obm-l] Dúvida!

[Flávio Ávila <flavio_avila@xxxxxxxxxxx>]

Seja p: R--> R um polinômio de grau n. Mostre que para a, x em R,
>
>pode-se escrever
>
>p(x) = p(a) + p´(a)(x-a) + [p´´(a)(x-a)^2]/2 +...+[p^(n)(a)(x-a)^n]/n!

notação:  p^(n) (x) -> derivada n-ésima de p(x);


Apresento a seguir uma solução que não "apela" para séries de Taylor ou 
Resto de Lagrange:

Temos:

p(x) = ao + (a1)x + (a2)x^2 + ... + (an)x^n
=>a0 = p(0);

p'(x) = a1 + 2(a2)x + 3(a3)x^2 + ... + n(an)x^(n-1)
=>a1 = p'(0);

p''(x) = 2(a2) + 3*2(a3)x + 4*3(a4)x^2 + ... + n(n-1)(an)x^(n-2)
=>a2 = p''(0)/2;

.
.
.

p^(n) (x) = n!(an);
=>an = p^(n) (0) / n!;

Logo:

p(x) = p(0) + p'(0)x + (p''(0))/2)x^2 + ... +  (p^(n) (0))/n!)x^n ;       
(1)


seja q(x) = p(x+a);
q(x) também é um polinômio, portanto pode ser escrito como em (1);

q(x) = q(0) + q'(0)x + (q''(0)/2)x^2 + ... +  (q^(n) (0))/n!)x^n;
mas q(0) = p(a), q'(0) = p'(a) e assim por diante.  Então:
q(x) = p(a) + p'(a)x + (p''(a)/2)x^2 + ... +  (p^(n) (a))/n!)x^n;
=> q(x-a) = p(a) + p'(a)(x-a) + (p''(a)/2)(x-a)^2 + ... +  (p^(n) 
(a))/n!)(x-a)^n;

Mas, q(x-a) = p(x-a+a) = p(x).  Logo:

p(x) = p(a) + p'(a)(x-a) + (p''(a)/2)(x-a)^2 + ... +  (p^(n) 
(a))/n!)(x-a)^n;

Como queríamos demonstrar.

Na verdade, o que fiz foi provar a validade da fórmula de Taylor para 
polinômios.
Alguém poderia apresentar a prova para uma função qualquer, infinitamente 
derivável?
O meu livro de Cálculo 2 (Leithold) não prova.

Abraços!

Flávio Ávila


>From: Claudio Buffara <claudio.buffara@terra.com.br>
>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
>Subject: Re: [obm-l] Dúvida!
>Date: Tue, 01 Jun 2004 12:25:17 -0300
>
>Acho que isso decorre da unicidade do polinomio de Taylor de uma funcao n+1
>vezes derivavel, que eh o caso de p(x).
>
>Nesse caso, o resto de Lagrange eh p^(n+1)(a + t(x - a))*(x-a)^(n+1)/(n+1)!
>= 0, pois a (n+1)-esima derivada de p(x) eh a funcao identicamente nula.
>
>[]s,
>Claudio.
>
>on 01.06.04 10:01, Lista OBM at obm_lista@yahoo.com.br wrote:
>
>Gostaria de saber se alguém poderia me ajudar com o exercício abaixo:
>
>Seja p: R--> R um polinômio de grau n. Mostre que para a, x em R,
>
>pode-se escrever
>
>p(x) = p(a) + p´(a)(x-a) + [p´´(a)(x-a)^2]/2 +...+[p^(n)(a)(x-a)^n]/n!
>
>Notação: p^(i)(a) = i-ésima derivada de p em a.
>
>PS.: Fiquei até um pouco receioso em colocar essa dúvida aqui na lista,
>
>pois parece ser tão imediata usando o Polinômio de Taylor com Resto
>
>de Lagrange, mas infelizmente não consegui resolvê-la.
>
>
>
>

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