[Date Prev][Date Next][Thread Prev][Thread Next][Date Index][Thread Index]
RE: [obm-l] Geom. Plana
Olá Osvaldo,
Não há dados suficientes no enunciado do problema que permitam que
você conclua de forma DIRETA que os triângulos ABC e IBJ são semelhantes. É
fácil e direto concluir que os ângulos do triângulo ABC são os seguintes:
<ABC = 90°, <BCA = 45° e <CAB = 45°, uma vez que se trata de um triângulo
retângulo isósceles (AB = BC = L e <ABC = 90°). Porém, apesar de podermos
concluir diretamente que no triângulo IBJ o ângulo <IBJ = 90°, não se pode
concluir diretamente que <BJI = 45° ou <JIB = 45°. Sendo assim, não é
correto fazer a semelhança entre os triângulos ABC e IBJ pelo critério AA~,
a não ser que se prove antes que um dos ângulos agudos do triângulo IBJ é
igual a 45°. Uma possível demonstração está colocada na solução que eu
propus.
Atenciosamente,
Rogério Moraes de Carvalho
-----Original Message-----
From: owner-obm-l@mat.puc-rio.br [mailto:owner-obm-l@mat.puc-rio.br] On
Behalf Of Osvaldo
Sent: sábado, 29 de maio de 2004 13:58
To: obm-l
Subject: RE: [obm-l] Geom. Plana
E ai Thór!
Creio que uma outra res. possível seja algo como esta:
Dois quadrados com mesmo perímetro são certamente
congruentes.
Seja l o lado do quadrado, ambos os quadrados têm
perímetro P, assim P=l/4
Faça o desenho. Sejam A,B,C,D os vértices do primeiro
quadrado e sejam E,F,G,H os vértices do outro quadrado
de tal forma que B está mais proxima de EF. Sejam I e J
as intersecções de EF com os lados AB e BC,
respectivamente; O o centro dos quadrados e X a
intersecção de OB com o lado EF.
Trace a diagonal AC. Os triang. ABC e IBJ são
semelhantes caso ~AA. Da proporção AC/OB=IJ/XB
temos que IJ=2.XB=2.y, onde IJ é o lado do octógono
regular.
Observe que a diagonal do quadrado corresponde ao lado
do quadrado somada com duas vezes y=XB, ou seja, l.sqrt
(2)=l+2.y=> y=l.(sqrt(2-1))/2
Observe que o triang. ret. XBJ é isosceles, logo o lado
do octógono corresponde a duas vezes y ou seja l.(sqrt
(2)-1)=
(P/4).(sqrt(2)-1)
Falow ai
> Olá Thor,
>
> Segue uma resolução possível para esta questão.
>
>
> RESOLUÇÃO POSSÍVEL:
>
> Se os dois quadrados concêntricos têm os mesmos
perímetros (P), então eles
> são congruentes, pois terão os mesmos lados (L =
P/4). Como o esboço da
> figura é muito importante para facilitar a
compreensão da resolução, segue a
> descrição do mesmo.
>
> Seja ABCD um quadrado de perímetro P, lado L (L =
P/4) e centro O. Agora
> obtenha o outro quadrado A'B'C'D' a partir da rotação
de um ângulo BETA de
> ABCD em torno da sua origem O no sentido horário, tal
que 0 < BETA < 90°.
> Nomeie os pontos de interseção dos dois quadrados
como H[1], H[2], H[3],
> ..., H[8] no sentido horário partindo do ponto de
interseção mais próximo de
> A no segmento AB.
>
> Segue a demonstração de que o ângulo BETA (<AOA') de
rotação do quadrado
> ABCD deve ser igual a 45°.
> Para isto, considere P o ponto de interseção do
segmento AO com o lado D'A'
> do quadrado A'B'C'D' e Q o ponto de interseção do
segmento A'O com o lado AB
> do quadrado ABCD. No quadrilátero PH[1]QO o ângulo <PH
[1]Q corresponde a um
> dos ângulos internos de um octógono regular (dado do
enunciado), então:
> <PH[1]Q = (8 - 2).180°/8 = 135°
> <PH[1]A + <PH[1]Q = 180° => <PH[1]A + 135° = 180° =>
<PH[1]A = 45°
> <PAH[1] = 45° (ângulo agudo formado entre uma
diagonal e um lado do quadrado
> ABCD)
> Pelo Teorema do Ângulo Interno: <OPH[1] = <PAH[1] +
<PH[1]A => <OPH[1] = 90°
> Analogamente, concluímos que <H[1]QO = 90°
> A soma dos ângulos internos do quadrilátero OPH[1]Q é
igual a 360°,
> portanto: <OPH[1] + <PH[1]Q + <H[1]QO + <QOP = 360°
=> 90° + 135° + 90° +
> BETA = 360° => BETA = 45°
>
> Observe que: AO = AP + PO (i)
>
> AO: metade da diagonal do quadrado ABCD, portanto AO
= L.sqr(2)/2 (ii)
>
> AP: metade do lado do octógono regular (X/2), pois na
dedução do ângulo de
> rotação (BETA) nós concluímos que o triângulo APH[1]
é retângulo isósceles.
> Analogamente, podemos concluir que APH[8] é retângulo
isósceles. Como o lado
> AP é comum, podemos dizer que os triângulo APH[1] e
APH[8] são congruentes
> pelo critério ALA. Considerando X como a medida do
lado do octógono regular
> H[1]H[2]H[3]H[4]H[5]H[6]H[7]H[8], teremos AP = PH[1]
= PH[8] = X/2 (iii)
>
> PO: metade do lado do quadrado A'B'C'D', portanto PO
= L/2 (iv)
>
> Substituindo as igualdades (ii), (iii) e (iv) na
igualdade (i), teremos:
> L.sqr(2)/2 = X/2 + L/2 => X = [sqr(2) - 1].L
> Como L = P/4: X = {[sqr(2) - 1].P}/4
>
> Resposta: {[sqr(2) - 1].P}/4
>
> Atenciosamente,
>
> Rogério Moraes de Carvalho
> ______________________________________
> From: owner-obm-l@mat.puc-rio.br [mailto:owner-obm-
l@mat.puc-rio.br] On
> Behalf Of Thor
> Sent: sexta-feira, 28 de maio de 2004 19:25
> To: obm-l@mat.puc-rio.br
> Subject: [obm-l] Geom. Plana
>
>
>
> Dois quadrados concêntricos de perímetro P , cada ,
são interceptados de
> modo que os pontos de interseção
> de seus lados sejam os vértices de um octógono
regular.Qual é o lado desse
> octógono em funçao de P?
>
>
> Tentei fazer , e cheguei na lei dos co-senos , e dai
parei!!!!
>
> Agradeço desde de já.
>
>
>
>
========================================================
=================
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar
a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
>
========================================================
=================
>
Atenciosamente,
Engenharia Elétrica - UNESP Ilha Solteira
Osvaldo Mello Sponquiado
Usuário de GNU/Linux
__________________________________________________________________________
Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela.
AntiPop-up UOL - É grátis!
http://antipopup.uol.com.br/
=========================================================================
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=========================================================================
=========================================================================
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=========================================================================