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Quando eu estava no Cient�fico (hoje ensino m�dio) os livros did�ticos definiam determinante como o Hugo. Parece-me a maneira melhor de faze-lo para um aluno de ensino medio. Na verdade, os livros davam uma simplificadazinha que tornava incompreensivel o porque de o determinante de uma matriz ser igual ao da sua transposta, mas, fora isso, enunciavam-se e provavam-se todos os teoremas relevantes, inclusive o de Laplace, de modo compreens�vel para um aluno do segundo cient�fico. Sofria-se no inicio, com uma semana inteira dedicada a invers�es antes de chegar a defini��o de determinante, porem, posteriormente, o desenvolvimento da teoria era rapido e justificado (provava-se tudo).
Hoje, com o ensino "pratico e objetivo", livre dos professores que so querem complicar (provar para que? todo mundo ja sabe que � verdade mesmo!), define-se determinante pelo teorema de Laplace; isso torna complicado provar os teoremas, mas, nesses tempos praticos e objetivos, ninguem vai provar nada mesmo, a Matematica que se ensina nao tem mais teoremas, tem apenas observa��es...
Na �poca, in�cio da d�cada de 60, tentando resolver o que era, para mim, um mist�rio (o do determinante da transposta) descobri um livro que expunha de modo claro e compreensivel a teoria dos determinantes: Li��es de Algebra e Analise, de Bento de Jesus Cara�a. Nele se encontra a mais didatica exposi��o da teoria dos determinantes, provando-se tudo.
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Em uma mensagem de 25/5/2004 00:29:48 Hora padr�o leste da Am. Sul, ehl@netbank.com.br escreveu:�
ol�, gostaria de saber se existe uma defini��o exata de determinante de uma matriz...�
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� que eu j� vi 3 defini��es distintas e gostaria de saber se todas sao aceitas como defini��es mesmo, ou apenas uma delas � a certa e as outras sao teoremas a partir dessa, ou � ainda uma outra al�m dessa 3...�
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uma das defini��es, dada pelo Manoel Paiva, vol 2 �:�
"O determinante de uma matriz quadrada A = (a_ij)_(nXn), com n >= 2, � igual ao produto dos elementos da diagonal principal de qualquer matriz triangular B, equipar�vel a A."�
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bom, nesse caso eu gostaria de saber se existe algum lugar em que eu posso encontra a demonstra��o desses dois teoremas:�
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"Dada uma matriz quadrada A = (a_ij)_(nXn), existe uma matriz triangular B = (b_ij)_(nXn) equipar�vel a A."�
esse eu acho meio intuitivo, mas tentei provar matematicamente e n�o consegui...�
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"Se duas matrizes triangulares A e B s�o equipar�veis, ent�o ambas possuem o mesmo produto dos elementos da diagonal principal."�
esse nao � nem um pouco intuitivo e tb nao consegui demonstrar.�
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bom, a outra defini��o que encontrei para determinante foi no Gelson Iezzi vol. 4.:�
"O determinante de uma matriz de ordem n >= 2 � a soma dos produtos dos elementos da primeira coluna pelos respectivos cofatores."�
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a outra defini��o que encontrei foi em um e-mail enviado para esta lista, por Hugo Iver Vasconcelos Gon�alves:�
"o determinante de uma matriz � a soma alg�brica de todos os poss�veis fatores em que est�o presentes um (e apenas um) elemento de cada linha e cada coluna, �sendo que aqueles em que os �ndices dos elementos da matriz formam uma permuta��o de primeira classe s�o tomados positivamente e os demais, negativamente."�
nesse caso a explica��o que ele deu para permuta��o de primeira classe foi:�
"permuta��o de primeira classe � aquela em que o n�mero de invers�es � par"
e a explica��o para invers�es foi:�
"invers�o � o fato de um par de elementos de uma permuta��o n�o aparecer na mesma ordem que apareceram na permuta��o inicial. �No caso de a permuta��o inicial de n n�meros ser a disposi��o deste em ordem crescente, uma invers�o seria basicamente o fato de aparecer um n�mero maior antes de um menor. E se a ordem inicial deles for outra, pode-se sempre chamar o 1o elemento de a1 e o n-�simo de an, de modo que uma invers�o ser� simplesmente quando aparecer um n�mero ap antes de um aq, tais que p > q."�
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nesse caso eu nao entendi como calcular quantas inversoes foram necessarias para chegar a dada permuta��o...�
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bom, � isso, sanadas minha d�vidas e se n�o for abuso, gostaria de saber onde poderia encontrar a demonstra��o do teorema fundamental de Laplace.�
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desde j� agrade�o�
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------- End of Original Message -------
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