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Re: [obm-l] determinantes
A aplicacao primaria de determinantes eh na resolucao de sistema de equacoes
lineares. Hah inclusive aquela famosa formula, devida a Cramer, se naum me
engano, que permite encontrar a solucao de um sistema linear com matriz
quadrada naum singular atraves da relacao entre determinantes. Hah tambem
aplicacoes em Algebra Linear e na Programacao Linear pelo Metodo Simplex, a
qual eh uma aplicacao tecnica da Algebra Linear.
Existe tambem aplicacao dos determinantes em Analise, na determinacao dos
maximos e minimos de funcoes de R^n em R. Temos matrizes conhecidas por
Jacobiano, Lagrangeano, Hessiano, e outras, as quais sao muito importantes
no estudo de maximos e minimos e no campo da Programacao Nao Linear, a qual
eh uma aplicacao tecnica da Analise no R^n a problemas de otimizacao.
Aparecem os conceitos de matrizes positivas definidas e de matrizes
positivas semi-definidas, que sao correlatos com determinantes.
Mas, a despeito da importancia teorica dos determinantes, eu acho que quase
nunca se calcula de fato o determinante de uma matriz. Acho que eles sao
importantes para se demonstrarem alguns teoremas, mas sempre se consegue
chegar aos resultados finais sem se calcular determinantes, visto que ha
processos computacionalmente muito melhores.
Os numeros complexos tem grande aplicacao na teoria de circuitos eletricos.
A introducao dos numeros complexos (no sentido matematico) nesta teoria
torna as coisas muito menos complexas (no sentido etmologico) do que
trabalhar no conjunto dos reais.
Os complexos tambem tem grande aplicacao na teoria de controle de processos,
quando se trabalham com assuntos como estabilidade de sistemas e funcoes de
transferencia. Muitos conceitos da Analise Complexa, como singularidades,
polos, funcoes analiticas, sao empregados.
Embora nao seja possivel entrar nestes assuntos no nivel medio, acho que um
professor pode perfeitamente cita-los de forma simples, para que o aluno
perceba que estah estudando algo que tem de fato importancia pratica.
Artur
> Fael escreveu:
> > Pegando um gancho:
> >
> > De todos os conceitos matematicos de Ensino Medio,
> os unicos que ate agora eu
> > nao vejo contextualizacao sao *determinantes* e
> *numeros complexos*. Sei que
> > ambos estao presentes na historia da criacao dos
> computadores, por exemplo,
> > mas nao consigo imaginar uma situacao-problema em
> que seja necessario utilizar
> > estes 2 conceitos. Todos os outros conceitos de
> matematica de Ensino Medio sao
> > facilmente contextualizados, mas estes 2 sao um
> *estranho no ninho* da
> > matematica de Ensino Medio. E para piorar, muitos
> livros definem *determinante* como
> > um numero associado a uma matriz (Grande definicao !
> Ironicamente falando :-)
> >
> >
> >
> > Em uma mensagem de 25/5/2004 00:29:48 Hora padr�o
> leste da Am. Sul,
> > ehl@netbank.com.br escreveu:
> >
> >
> > >
> > >
> > > ol�, gostaria de saber se existe uma defini��o
> exata de determinante de uma
> > > matriz...
> > >
> > > � que eu j� vi 3 defini��es distintas e gostaria
> de saber se todas sao
> > > aceitas como defini��es mesmo, ou apenas uma delas
> � a certa e as outras sao
> > > teoremas a partir dessa, ou � ainda uma outra al�m
> dessa 3...
> > >
> > > uma das defini��es, dada pelo Manoel Paiva, vol 2
> �:
> > > "O determinante de uma matriz quadrada A = (a_ij)_
> (nXn), com n >= 2, � igual
> > > ao produto dos elementos da diagonal principal de
> qualquer matriz triangular
> > > B, equipar�vel a A."
> > >
> > > bom, nesse caso eu gostaria de saber se existe
> algum lugar em que eu posso
> > > encontra a demonstra��o desses dois teoremas:
> > >
> > > "Dada uma matriz quadrada A = (a_ij)_(nXn), existe
> uma matriz triangular B =
> > > (b_ij)_(nXn) equipar�vel a A."
> > > esse eu acho meio intuitivo, mas tentei provar
> matematicamente e n�o
> > > consegui...
> > >
> > >
> > > "Se duas matrizes triangulares A e B s�o
> equipar�veis, ent�o ambas possuem o
> > > mesmo produto dos elementos da diagonal principal."
> > > esse nao � nem um pouco intuitivo e tb nao
> consegui demonstrar.
> > >
> > > bom, a outra defini��o que encontrei para
> determinante foi no Gelson Iezzi
> > > vol. 4.:
> > > "O determinante de uma matriz de ordem n >= 2 � a
> soma dos produtos dos
> > > elementos da primeira coluna pelos respectivos
> cofatores."
> > >
> > > a outra defini��o que encontrei foi em um e-mail
> enviado para esta lista,
> > > por Hugo Iver Vasconcelos Gon�alves:
> > > "o determinante de uma matriz � a soma alg�brica
> de todos os poss�veis
> > > fatores em que est�o presentes um (e apenas um)
> elemento de cada linha e cada
> > > coluna, sendo que aqueles em que os �ndices dos
> elementos da matriz formam uma
> > > permuta��o de primeira classe s�o tomados
> positivamente e os demais,
> > > negativamente."
> > > nesse caso a explica��o que ele deu para
> permuta��o de primeira classe foi:
> > > "permuta��o de primeira classe � aquela em que o
> n�mero de invers�es � par"
> > > e a explica��o para invers�es foi:
> > > "invers�o � o fato de um par de elementos de uma
> permuta��o n�o aparecer na
> > > mesma ordem que apareceram na permuta��o inicial.
> No caso de a permuta��o
> > > inicial de n n�meros ser a disposi��o deste em
> ordem crescente, uma invers�o
> > > seria basicamente o fato de aparecer um n�mero
> maior antes de um menor. E se a
> > > ordem inicial deles for outra, pode-se sempre
> chamar o 1o elemento de a1 e o
> > > n-�simo de an, de modo que uma invers�o ser�
> simplesmente quando aparecer um
> > > n�mero ap antes de um aq, tais que p > q."
> > >
> > > nesse caso eu nao entendi como calcular quantas
> inversoes foram necessarias
> > > para chegar a dada permuta��o...
> > >
> > >
> > > bom, � isso, sanadas minha d�vidas e se n�o for
> abuso, gostaria de saber
> > > onde poderia encontrar a demonstra��o do teorema
> fundamental de Laplace.
> > >
> > > desde j� agrade�o
> > >
> >
> >
> >
>
> Atenciosamente,
>
> Engenharia El�trica - UNESP Ilha Solteira
> Osvaldo Mello Sponquiado
> Usu�rio de GNU/Linux
>
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> Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela.
> AntiPop-up UOL - � gr�tis!
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> Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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