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[obm-l] RE: [obm-l] Re:[obm-l] dúvida chara!
Olá colegas da lista,
Apesar da resolução apresentada pelo Osvaldo ter seguido um possível
raciocínio correto para resolver esta questão, a análise dele está
incompleta porque omite alguns passos muito importantes, o que pode nos
levar a encontrar soluções inválidas. Neste problema especificamente, a
resposta encontrada está correta, porém, se modificarmos o valor da
diferença de quadrados de 27 para outro valor, então a resolução dele pode
nos levar a resultados errados.
A análise que eu apresento a seguir corresponde a uma crítica de
caráter construtivo com relação à resolução apresentada pelo Osvaldo. O
objetivo desta análise não é depreciar a resolução do Osvaldo, mas sim de
mostrar que é necessário sermos rigorosos nas resoluções de problemas de
Matemática para não chegarmos a resultados incorretos. Muitas vezes podemos
encontrar uma resposta correta para uma questão resolvendo-a de maneira
errada.
Na resolução apresentada abaixo, considere que "=>" significa
"implica" e ">=" significa "maior ou igual a".
QUESTÃO ORIGINAL:
"A diferença entre os quadrados de dois números naturais é 27. UM dos
possíveis valores do quadrado da soma desses dois números:
a)529
b)625
c)729
d)841"
RESOLUÇÃO POSSÍVEL:
Sejam x e y os dois números naturais, então devemos ter:
x^2 - y^2 = 27 <=> (x + y)(x - y) = 27
Adotando a = x + y e b = x - y, teremos:
a.b = 27 (i) (Observe que o produto de a e b é positivo)
Resolvendo o sistema de equações nas variáveis x e y, podemos encontrar x e
y em função de a e b:
a + b = (x + y) + (x - y) <=> a + b = 2x <=> x = (a + b)/2 (ii)
a - b = (x + y) - (x - y) <=> a - b = 2y <=> y = (a - b)/2 (iii)
Como x e y são naturais, então x >= 0 e y >= 0. Portanto:
x + y >= 0 + 0 => a >= 0. De acordo com a igualdade (i), a não pode ser 0,
logo a > 0 (iv)
Como a.b > 0 (i) e a > 0 (iv), então b > 0 (v)
y >= 0 => -y <= 0 => y >= 0 e 0 >= -y => y >= -y => x + y >= x - y =>
a >= b (vi)
Por (v) e (vi), concluímos que: a >= b > 0 (vii)
Sendo assim, devemos encontrar a e b inteiros tais que sejam satisfeitas as
seguintes condições:
a.b = 27 (ii)
a >= b > 0 (vii)
x = (a + b)/2 (ii) seja um número natural.
y = (a - b)/2 (iii) seja um número natural.
Analisando os divisores de 27, podemos concluir que existem apenas dois
pares de valores de a e b que satisfazem as condições (ii) e (vii):
(a = 27 e b = 1) ou (a = 9 e b = 3)
Para a = 27 e b = 1:
x = (27 + 1)/2 = 14 é um número natural.
y = (27 - 1)/2 = 13 é um número natural.
Portanto, x = 14 e y = 13 é uma solução possível.
Para a = 9 e b = 3:
x = (9 + 3)/2 = 6 é um número natural.
y = (9 - 3)/2 = 3 é um número natural.
Portanto, x = 6 e y = 3 é uma solução possível.
Possíveis valores para (x + y)^2:
(x + y)^2 = (14 + 13)^2 = 27^2 = 729
(x + y)^2 = (6 + 3)^2 = 9^2 = 81
Resposta: Alternativa c
Observação: Pode parecer que os passos apresentados para deduzir as
condições são desnecessários, mas são eles que garantem a validade das
soluções encontradas.
EXPLICAÇÃO DO MOTIVO DA RESOLUÇÃO APRESENTADA PELO OSVALDO SER INCOMPLETA:
Na resolução são apresentados 4 valores possíveis para a e b (a,b):
{(1,27),(3,9),(9,3),(27,1)}. Porém, (1,27) e (3,9) não satisfazem a condição
(vii): a >= b > 0. Portanto, somente os pares (9,3) e (27,1) correspondem a
possíveis valores para a e b, restando apenas verificar se eles produzem
valores naturais para x e y. Logo, na lista de valores apresentados para
(x+y)^2 = a^2, {1, 9, 81, 729}, não poderia aparecer os valores 1 = 1^2 e
nem 9 = 3^2. Além disto, não há garantia de que 81 = 9^2 e 729 = 27^2
correspondem a valores de a e b válidos, pois os valores de x e y não são
calculados para verificar se eles são naturais, como foi descrito no
enunciado do problema. Portanto, os valores de a e b encontrados poderiam
não ser válidos. Neste problema específico, os valores de a e b encontrados
são válidos, logo a resposta encontrada está correta. A seguir, eu apresento
uma variação deste problema que mostra de maneira concreta que a resolução
apresentada pelo Osvaldo pode apresentar resultados errados. Para se ter uma
idéia apenas 1 resultado, dos 6 encontrados, é correto!
QUESTÃO MODIFICADA:
"A diferença entre os quadrados de dois números naturais é 68. UM dos
possíveis valores do quadrado da soma desses dois números:
a)16
b)289
c)1156
d)4624"
RESOLUÇÃO DO OSVALDO ALTERADA PARA A VERSÃO MODIFICADA DA QUESTÃO:
sejam x e y tais numeros, dai temos que
x^2-y^2=68
(x+y)(x-y)=68
a=x+y
b=x-y
Possiveis valores para a e b (x,y):
{(1,68),(2,34),(4,17),(17,4),(34,2),(68,1)}
Assim (x+y)^2=a^2
Temos então que todos os valores de (x+y)^2 pertencem a
{1, 4, 16, 289, 1156, 4624)
Logo quatro dos valores possiveis são 16, 289, 1156 e 4624
resposta a, b, c, d
RESOLUÇÃO CORRETA POSSÍVEL PARA A QUESTÃO MODIFICADA:
Sejam x e y os dois números naturais, então devemos ter:
x^2 - y^2 = 68 <=> (x + y)(x - y) = 68
Adotando a = x + y e b = x - y, teremos:
a.b = 68 (i) (Observe que o produto de a e b é positivo)
Resolvendo o sistema de equações nas variáveis x e y, podemos encontrar x e
y em função de a e b:
a + b = (x + y) + (x - y) <=> a + b = 2x <=> x = (a + b)/2 (ii)
a - b = (x + y) - (x - y) <=> a - b = 2y <=> y = (a - b)/2 (iii)
Como x e y são naturais, então x >= 0 e y >= 0. Portanto:
x + y >= 0 + 0 => a >= 0. De acordo com a igualdade (i), a não pode ser 0,
logo a > 0 (iv)
Como a.b > 0 (i) e a > 0 (iv), então b > 0 (v)
y >= 0 => -y <= 0 => y >= 0 e 0 >= -y => y >= -y => x + y >= x - y =>
a >= b (vi)
Por (v) e (vi), concluímos que: a >= b > 0 (vii)
Sendo assim, devemos encontrar a e b inteiros tais que sejam satisfeitas as
seguintes condições:
a.b = 68 (ii)
a >= b > 0 (vii)
x = (a + b)/2 (ii) seja um número natural.
y = (a - b)/2 (iii) seja um número natural.
Analisando os divisores de 68, podemos concluir que existem apenas três
pares de valores de a e b que satisfazem as condições (ii) e (vii):
(a = 68 e b = 1) ou (a = 34 e b = 2) ou (a = 17 e b = 4)
Para a = 68 e b = 1:
x = (68 + 1)/2 = 69/2 NÃO é um número natural.
y = (68 - 1)/2 = 67/2 NÃO é um número natural.
Portanto, x = 69/2 e y = 67/2 NÃO é uma solução possível.
Para a = 34 e b = 2:
x = (34 + 2)/2 = 18 é um número natural.
y = (34 - 2)/2 = 16 é um número natural.
Portanto, x = 18 e y = 16 é uma solução possível.
Para a = 17 e b = 4:
x = (17 + 4)/2 = 21/2 NÃO é um número natural.
y = (17 - 4)/2 = 13/2 NÃO é um número natural.
Portanto, x = 21/2 e y = 13/2 NÃO é uma solução possível.
Único valor possível para (x + y)^2:
(x + y)^2 = (18 + 16)^2 = 34^2 = 1156
Resposta: Alternativa c
Atenciosamente,
Rogério Moraes de Carvalho
-----Original Message-----
From: owner-obm-l@mat.puc-rio.br [mailto:owner-obm-l@mat.puc-rio.br] On
Behalf Of Osvaldo
Sent: domingo, 23 de maio de 2004 01:01
To: obm-l
Subject: [obm-l] Re:[obm-l] dúvida chara!
sejam x e y tais numeros, dai temos que
x^2-y^2=27
(x+y)(x-y)=27
a=x+y
b=x-y
Possiveis valores para a e b (x,y):
{(1,27),(3,9),(9,3),(27,1)}
Assim (x+y)^2=a^2
Temos então que todos os valores de (x+y)^2 pertencem a
{1, 9, 81, 729)
Logo um dos valores possiveis é 729
resposta c
> 1)a diferença entre os quadrados de dois números
naturais é 27.UM dos possíveis valores do quadrado da
soma desses dois números:
>
> a)529
> b)625
> c)729
> d)841
>
Atenciosamente,
Engenharia Elétrica - UNESP Ilha Solteira
Osvaldo Mello Sponquiado
Usuário de GNU/Linux
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Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela.
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