[obm-l] Olimpiadas Russas

["Paulo Santa Rita" <p_ssr@xxxxxxxxxxx>]

Ola Pessoal !

Seguem abaixo tres problemas das Olimpiadas Russia. Nao ha como comparar com 
rigor oo niveis
de ensino da Russia com os Brasileiros, mas podemos dizer que estes 
problemas sao "aproximadamente" para os nossos alunos da 8 serie .

101 – Sejam dados dois triangulos acutangulos ( todos os angulos internos 
sao agudos ) ABC e A'B'C' no interior dos quais estão respectivamente os 
pontos O e O'. Tres pares de perpendiculares sao tracadas :

OA1 perpendicular a BC em A1 e O'A1' perpendicular a B'C' em A1'
OB1 perpendicular a AC em B1 e O'B1' perpendicular a A'C' em B1'
OC1 perpendicular a AB em C1 e O'C1' perpendicular a A'B' em C1'

Sabe-se que :

OA1 e paralelo a O'A'
OB1 e paralelo a O'B'
OC1 e paralelo a O'C'
|OA1|*|O'A'|  =  |OB1|*|O'B'|  =  |OC1|*|O'C'|

Prove que ;

O'A1' e paralelo a OA
O'B1' e paralelo a OB

OBS1 : |OA| = comprimento do segmento OA,
OBS2 : |OA|*|OB| = produto de comprimentos

102 – Prove que e possivel representar um numero natural M qualquer, M menor 
que N! + 1, como uma soma de K numeros ( K =< N ), cada um deles divisor de 
N! e dois a dois diferentes entre si.

103 – Seja dado um triangulo ABC com um ponto D em AB e um ponto E em AC. 
Sabe-se que AD = DE = AC , BD = AE e que DE e paralelo a BC. Prove que o 
comprimento de BD e igual ao lado de um decagono inscrito em um circulo com 
raio R = AC.

Maisd problemas russos em :

http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/psr

Um Abraco a Todos
Paulo Santa Rita
2,1041,170504

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http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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