[obm-l] Re: [obm-l] Análise I

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxx>]

On Mon, May 17, 2004 at 07:05:59AM -0300, francisco medeiros wrote:
>  Não existe uma função real (i.e., de R em R) contínua que transforme
>  todo número racional num irracional e vice-versa.

Isto é uma aplicação do teorema de Baire.

Teorema de Baire: a união de uma família enumerável de subconjuntos
fechados de interior vazio de R também tem interior vazio.

Suponha por absurdo que exista f como acima.
Para cada racional x, seja Ax = {x} e Bx = f^{-1}(Ax).
O conjunto Ax obviamente é fechado de interior vazio.
O conjunto Bx é fechado pois é a imagem inversa de um fechado
por uma função contínua e tem interior vazio pois está contido
nos irracionais. Mas a união de todos os Ax e Bx é R, pois dado
um real y, se y for racional temos y em Ay e se y for irracional
temos y em B(f(y)). Isto contradiz o teorema de Baire, absurdo.

A demonstração do teorema de Baire não é difícil, pode ser encontrada
em bons livros de análise ou nos arquivos desta lista.
Existe uma versão mais geral do teorema de Baire que fala de outros
espaços além de R.

[]s, N.

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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