Re: [obm-l] potencias

["Fabio Dias Moreira" <fabio@xxxxxxxxxxxxxxxxxxx>]

Fabiano Cardoso said:
>  --- Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet
> <peterdirichlet2002@yahoo.com.br> escreveu: > Ah ta,
> agora peguei a ideia...O que ce quer e que,
>> em iteraçoes sucessivas de subtrair, apareça algum
>> fatorial no final.Mas 4! nao e 60...
>> [...]
>
> me desculpe se tenho dificuldades para formular o
> problema mas e que eu estou conjecturando, o seguinte:
> para potencia de 4, voce deveria iterar 4 vezes. Isso
> nao e por acaso se voce listar mais que 6 potencias de
> 4 vera que o 24 vai repetir na 4 iteracao
> para 4 primeiras
> 0
> 1      1
> 16     15    14
> 81     65    50    36
> 256    175   110   60  24
> 625    369   194   84  24
> [...]

Vou provar esse resultado por indução. Obviamente, isso é verdade para
0-ésimas e 1-ésimas potências. Suponha que o resultado vale para k-ésimas
potências, k = 0, 1, ..., p.

Note que se a_n é uma sequência de inteiros e D(a_n) = a_(n+1) - a_n,
então D(a_n + b_n) = D(a_n) + D(b_n) e D(C*a_n) = C*D(a_n). Eu vou
representar D(D(D(...(D(a_n))...))), onde há p D's como D^p(a_n).

Queremos provar que D^(p+1)(n^(p+1)) = p!. Mas
D^(p+1)(n^(p+1)) =
D^p((n+1)^(p+1)-n^(p+1)) =
D^p(C(p+1;1)*n^p + C(p+1;2)*n^(p-1) + ... + C(p+1;p+1)*n^0) =
C(p+1;1)*D^p(n^p) + C(p+1;2)*D^p(n^(p-1)) + ... + C(p+1;p+1)*D^p(n^0).

Mas se a > b, D^a(n^b) = 0: pela hipótese de indução, D^b(n^b) = b!, logo
D^(b+1)(n^b) = D(D^b(n^b)) = D(b!). Mas b! é uma seqüencia constante, logo
D(b!) = b! - b! = 0. Como, obviamente, D^k(0) = 0, segue que D^a(n^b) = 0.

Portanto, só o primeiro termo da série é não-nulo, logo
D^(p+1)(n^(p+1)) =
C(p+1;1)*D^p(n^p) = (por hipótese de indução)
(p+1)*p! =
(p+1)!.

[]s,

-- 
Fábio "ctg \pi" Dias Moreira


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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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