Re: [obm-l] Re: [obm-l] Fatoração II

[niski <fabio@xxxxxxxxx>]

É isso mesmo Claudio.
Eu não apelei para a forma exponecial dos complexos. Veja
x^6 + x^3 + 1 = 0
t = x^3
t=-1/2 +- (sqrt(3)/2)i

x = ((|z|)^(1/n))(cos(phi) + isen(phi))
phi = (theta + h2pi)/n

No caso temos
|z| = 1
theta = 2pi/3
n = 3

Assim

h = 0 => phi = 2pi/2
h = 1 => phi = 8pi/9
h = 2 => phi = 14pi/9

Agora considere que para um polinomio do 2 grau

p(x) = [x-(a+bi)][x-(a-bi)]
p(x) = x^2 - 2ax + a^2 + b^2
a = ro*cos(phi) , b = ro*sin(phi)

entao

p(x) = x^2 - 2*ro*cos(phi)*x + ((ro)^2)((sin(phi))^2 + (cos(phi))^2)
p(x) = x^2 - 2*ro*cos(phi)*x + (ro)^2

Acoplando isso para o polinomio em questao
x^6 + x^3 + 1 = (x^2 - 2*cos(2pi/9)x + 1)(x^2 - 2*cos(8pi/9)x + 1)(x^2 - 
2*cos(14pi/9)x + 1)


Cláudio (Prática) wrote:

> p(x) = x^6 + x^3 + 1 = (x^9 - 1)/(x^3 - 1)
> Ou seja, as raízes de p(x) são as raízes nonas da unidade com exceção de 1,
> exp(i*2pi/3) e exp(i*4pi/3).
> 
> Seja w = exp(i*2pi/9).
> Então as raízes de x^6 + x^3 + 1 são:
> w, w^2, w^4, w^(-1), w^(-2) e w^(-4).
> 
> w + w^(-1) = 2*cos(2pi/9) = A
> w^2 + w^(-2) = 2*cos(4pi/9) = B
> w^4 + w^(-4) = 2*cos(8pi/9) = C
> 
> Logo:
> p(x) = (x - w)*(x - w^(-1))*(x - w^2)*(x - w^(-2))*(x - w^4)*(x - w^(-4))
> ==>
> p(x) = (x^2 - Ax + 1)*(x^2 - Bx + 1)*(x^2 - Cx + 1)
> 
> Obs 1: A, B e C são irracionais;
> Obs 2: p(x) é irredutível sobre Q.


-- 
Niski - http://www.linux.ime.usp.br/~niski

[upon losing the use of his right eye]
"Now I will have less distraction"
Leonhard Euler

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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