Olá para todos !
Deparei-me com um teorema de geometria euclidiana plana
que dizia o seguinte: ao maior lado de um triângulo
corresponde a menor bissetriz. Tentei prová-lo da
seguinte forma (infelizmente não disponho de recursos
visuais, então usem a imaginação ou esboçem o desenho
num papel para compreenderem melhor o que digo): Seja
ABC um triângulo qualquer, BC seu maior lado, I seu
incentro, x a medida do angulo interno de vértice A, y
a medida do ângulo interno de vértice B, z a medida do
ângulo interno de vértice C, AM a bissetriz de x, BO a
bissetriz de y e CN a bissetriz de z. Sabe-se que x > y
e x > z uma vez que x é oposto a BC (suposto maior
lado). Analisando o triângulo AIC, vê-se que x/2 > z/2,
logo CI > AI. Observando o triângulo AIB é verdadeiro
afirmar que x/2 > y/2, portanto BI > AI. Ora IM, IN e
IO são segmentos de reta congruentes, visto que são
raios da circunferência inscrita a ABC, então BI + IO >
AI + IM o que implica que BO > AM (BI + IO = BO e AI +
IM = AM), assim como CI + IN > AI + IM o que implica
que CN > AM (CI + IN = CN e AI + IM = AM). Enfim, está
demonstrada a tese AM < BO e AM < CN. A minha
demonstração é válida ou há algo nela que a compromete
(sei lá, algum argumento duvidoso, por exemplo) ? Vocês
conhecem alguma outra maneira de se provar esse
teorema ? Se sim, exponha-a por favor.
Abraços,
Rafael.
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