Re: [obm-l] Eureka_18

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

on 20.04.04 14:42, rickufrj at rickufrj@bol.com.br wrote:

> Olá pessoal 
> Este problema está na revista Eureka n°18 , é o
> Proposto 83:
> 
> 83) Seja N = {0,1,2,3, ..}
> Determine quantas funções de N em N satisfazem:
> f(2003) = 2003, 
> f(n) <= 2003 para todo n <= 2003, e
> f(m + f(n)) = f(f(m)) + f(n) , para todo m,n pertence N.
> 
m = n = 0 ==>
f(f(0)) = f(0 + f(0)) = f(f(0)) + f(0) ==>
f(0) = 0

n = 0 ==>
f(m) = f(m + 0) = f(m + f(0)) = f(f(m)) + f(0) = f(f(m)) ==>
f(f(m)) = f(m), para todo m em N.

Como f(n) <= 2003, para n <= 2003, podemos escrever, para n <= 2003:
f(n) = 2003 - m, onde 0 <= m <= 2003.
Logo:
2003 = f(2003) = f(m + (2003 - m)) = f(m + f(n)) =
= f(f(m)) + f(n) = f(m) + (2003 - m) ==>
f(m) = m, para 0 <= m <= 2003.

Sabemos que f(0) = 0.

Suponhamos, por hipotese de inducao, que f(m) = m, para algum m em N.

Entao:
f(m + 1) = f(m + f(1)) = f(f(m)) + f(1) = f(m) + 1 = m + 1.

Logo, concluimos que f(m) = m, para todo m em N ==>
f eh a funcao identidade em N ==>
existe uma unica funcao de N em N que satisfaz as condicoes do enunciado.


[]s,
Claudio.


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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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