Como sempre la vou eu:
Vamos usar GA.
A(0;0)
B(0;2)
C(2;0)
D(2p;0) com p em (0,1/2)
Com isso e facil ver que E(0;-2p).Os pontos medios sao P(p;1) e Q(1;-p).
Para achar R poderiamos escrever as equaçoes de DE ne BC, mas vamos de um jeito mais inteligente (como diria o Shine, mais IXPERTO).
R esta na reta mediatriz de CD, ou seja, em x=p+1 (veja que DRC e retangulo isosceles).Como a distancia de R ate CD e CD/2 entao
R(1+p;1-p).
Vamos listar os pontos, para nao perder o rumo:
A(0;0)
B(0;2)
C(2;0)
D(2p;0)
E(0;-2p)
P(p;1)
Q(1;-p).
R(1+p;1-p), com p em (0,1/2).
Calculando as distancias (ou os seus quadrados):
AP^2=1+p^2
AQ^2=1+p^2
PR^2=1+p^2
QR^2=1+p^2
AR^2=(1+p)^2+(1-p)^2=2(1+p^2)
PQ^2=2(1+p^2)
E acabou!
Andre <webwildesign@hotmail.com> wrote:
Num triângulo ABC, retângulo em A e isósceles, seja D um ponto do lado AC (D diferente de A e C) e seja E o ponto do prolongamento do lado BA tal que o triângulo ADE é isósceles. Se P é o ponto médio do segmento BD, R é o ponto médio do segmento CE e Q o ponto onde se cortam as retas ED e BC, demonstre que o quadrilátero ARQP é um quadrado.