Re: [obm-l] Problemas de Olimpiadas

[André Araújo <araujoime@xxxxxxxxxxx>]

Olimpiada da India - 1995:
Problema 4) ABC eh um triangulo com a circunferencia inscrita K de raio r.
Uma circunferencia K' de raio r' estah dentro de ABC e tangencia AB, AC e K
externamente. Mostre que r'/r = [tg((pi-A)/4)]^2.
Solucao:
Fazendo a figura facilita o entendimento.
Sejam O e O' os centros de K e K' respectivamente e t a reta tangente comum
a K e K'. A reta t encontra AB e AC em D e E respectivamente. Seja ainda  T
o ponto de tangengia de K e K'.
i) A, O' e O sao colineares (AO eh bissetriz interna de A e AO' tambem);
ii) O', T e O sao colineares (O'T eh perpendicular a t e OT tambem);
De i) e ii) conclui-se que A, O', T e O sao colineares.
iii) Triangulo DOT eh retangulo em T e ang DOT = (pi-A)/4;
iv) Triangulo DO'T eh retangulo em T e ang O'DT = (pi-A)/4;
De iii) tem-se:
tg((pi-A)/4) = DT/r => DT = r*tg((pi-A)/4)
De iv) tem-se:
tg((pi-A)/4) = r'/DT => r'/r = [tg((pi-A)/4)]^2.


> Oi, pessoal:
>
> Como fui eu quem deu a ideia de resolver, aqui na lista, problemas de
> olimpiadas ainda sem solucao no site do John Scholes, aqui vai a primeira
> contribuicao pro projeto. Eu adoraria ver mais gente participando.
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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