Aqui vai, só pra chatear o Dirichlet:
A primeira observação é que podemos trocar a base dos logaritmos de e para 2, pois 1/(n*ln(n)^r) = log_2(e)^r/(n*log_2(n)^r). Ou seja, a série com logs naturais é apenas um múltiplo constante da série com logs em base 2, de forma que ambas convergem ou ambas divergem.
Tomemos as reduzidas de ordem 2^n - 1 da série com os logs na base 2:
S(2^n - 1) =
1/(2*log(2)^r) + 1/(3*log(3)^r) +
1/(4*log(4)^r) + ... + 1/(7*log(7)^r) +
...
1/(2^(n-1)*log(2^(n-1))^r) + ... + 1/((2^n - 1)*log(2^n - 1)^r) <
2/(2*log(2)^r) +
4/(4*log(4)^r) +
...
2^(n-1)/(2^(n-1)*log(2^(n-1))^r) =
1/log(2)^r + 1/log(4)^r + 1/log(8)^r + .... + 1/log(2^(n-1))^r =
1 + 1/2^r + 1/3^r + ... + 1/(n-1)^r =
reduzida de ordem n-1 da série SOMA(k >= 1) 1/k^r, a qual sabemos que converge (se não soubermos, basta aplicar a mesma técnica de se tomar as reduzidas de ordem 2^n - 1 e agrupar os termos convenientemente que obteremos uma série majorante geométrica de razão (2/2^r) < 1 - essa sim temos certeza de que converge).
[]s,
Claudio.
| De: | owner-obm-l@mat.puc-rio.br |
| Para: | obm-l@mat.puc-rio.br |
| Cópia: |
| Data: | Fri, 16 Apr 2004 00:53:14 -0300 |
| Assunto: | Re: [obm-l] serie CONvergente! |
> Poxa Johann, não fique triste...
>
> se vc quiser pode tentar fazer essa:
>
> "Prove que a série de 1/[n.(log n)^r] converge para r>1" (Só lembrando que não vale usar integrais)... boa sorte!
>
> Abraços!!!
----- Original Message -----Sent: Friday, April 16, 2004 12:16 AMSubject: RE: [obm-l] serie divergente! (linda solução)>>Droga, eu tinha pensado nisso e corri desde o portao da USP so para escrever!!!
> A minha demo ficou parecida.A ideia e usar mesmo serie harmonica.De qualquer modo ta valendo vai...