[obm-l] Re: [obm-l] exercícios de topologia

[Mario Salvatierra Junior <otita@xxxxxxxxxxxxxx>]

On Mon, 12 Apr 2004, Artur Costa Steiner wrote:

1) O conj das matrizes nxn com det=1 é fechado pois é imagem inversa de 
1 da funcao continua determinante.É ilimitado pois é facil construir 
matrizes An com detAn=1 e norma(An)=n.


> 
> --- Carlos bruno Macedo <cabrmacedo@hotmail.com>
> wrote:
> > Gostaria de ajuda nesses dois exercícios
> > 
> > Provar que
> > 
> > 1) O conjunto das matrizes n x n com determinante 1
> > é um fechado ilimitado 
> > com interior vazio em R^n x n
> > 
> > 2) As matrizes ortogonais n x n formam um
> > subcontunto compacto de R^n x n
> > 
> 
> 2) O conjunto R^(n^2) eh Euclidiano, logo um
> subconjunto do mesmo eh compacto se, e somente se, for
> limitado e fechado (Teorema de Heine Borel).
> Seja O o conjunto das matrizes ortogonais n x n. Se M
> pertence a O, entao a norma de cada um de seus vetores
> linha ou coluna eh 1(um conhecido fato da algebra
> linear). Se definirmos a norma || de uma matriz como a
> raiz quadrada da soma dos quadrados de seus termos,
> entao ||M|| = sqrt(n) para toda M de O. Segue-se
> automaticamente que O eh limitado.
> 
> Suponhamos agora que N seja uma matriz pertencente ao
> fecho de O. Existe entao uma sequencia de matrizes
> {N_n} em O que converge para N. A sequencia dos
> vetores linha e coluna das matrizes de {N_n} converge,
> portanto, para o correspondente vetor linha ou coluna
> de N. 
> A norma Euclidiana de um vetor do R^n eh uma funcao
> continua de R^n em R. Assim, se {v_n} eh uma 
> sequencia de vetores linhas ou colunas das matrizes de
> {N_n}, temos que ||v_n|| -> ||v||, sendo v o
> correspondente vetor de N. Mas como ||v_n|| =1 para
> todo n, ||v_n|| ->1 e ||v|| =1. Todos os vetores linha
> e coluna de N tem portanto norma 1. Da Algebra Linear,
> isto implica que N seja ortogonal e pertenca a O. .
> Logo, O confunde-se com o seu fecho e eh fechado.
> 
> Concluimos assim que O eh fechado e limitado, logo
> compacto.
> Artur     
> 
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