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RE: [obm-l] Um limite meio chato
Serve utilizar a noção de funções equivalentes (ou assintoticamente iguais)?
Isto é: se duas funções de leis f(x) e g(x) são tais que lim (f(x)/g(x)) =
1, quando x tende a um valor "a", então as funções f(x) e g(x) são
equivalentes, quando x tende ao a. Assim, por exemplo, numa vizinhança de 0,
senx é equivalente a x, assim como ln(1+x) é assintoticamente igual a x.
É elementar que: "o limite da razão entre dois infinitésimos (funções que
tendem a zero) não se altera se os membros forem substituídos por
infinitésimos equivalentes" (por exemplo, ver Problemas e Exercícios de
Análise Matemática - Demidovicth, da MIR, página 34). Desse modo, o
quociente procurado, nas proximidades de 0, é equivalente a:
(xcosx - x)/x^3, o qual, por sua vez, é igual a x(cosx - 1)/x^3, que é igual
a {2[sen(x/2)]^2}/x^2. Finalmente, a última razão pode ser vista como
(1/2){[sen(x/2)/(x/2)]^2, cujo limite, quando x tende a zero, é igual a 1/2
(limite procurado, de acordo com o teorema acima).
Espero ter contribuído com algum raciocínio,
Márcio.
>From: Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet
><peterdirichlet2002@yahoo.com.br>
>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>To: obm-l@mat.puc-rio.br
>Subject: RE: [obm-l] Um limite meio chato
>Date: Tue, 6 Apr 2004 21:13:10 -0300 (ART)
>
>CONSEGUI!!
>Essa e muito legal!Vou deixar um rascunho no fim da mensagem para nao
>atrapalhar quem ainda nao fez...Talvez o Gugu tente essa, e meio no estilo
>dele....Tem muita conta mas e bem divertido.
>PS.:SEM USAR DERIVADA, NEM L'HOSPITAL-BERNOULLI, NEM NADA DISSO!!
>
>" f(x)= (x*cos (x) -sen (x))/(x^3)
>
>Determine lim f(x) se x tende a zero."
>
>Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet <peterdirichlet2002@yahoo.com.br>
>wrote:
>Ta.Ai o que temos?
>sen (x + arctg(-x)), vai dar algo como infinito vezes zero.Nao entendi
>essa...
>
>Qwert Smith <lord_qwert@hotmail.com> wrote:
>
>Ki tal reescrever como sqrt[ 1/(x^6) + 1/(x^4)]*sen(x + arctg(-x))?
>
>
> >From: Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet
> >
>
> >Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
> >To: obm-l@mat.puc-rio.br
> >Subject: [obm-l] Um limite meio chato
> >Date: Wed, 31 Mar 2004 16:11:08 -0300 (ART)
> >
> >Ola pessoal!!!
> >Certa feita fui desafiado a dizer o limite desta expressao quando x tende
>a
> >zero:
> >
> >sen x/x^3- cosx/x^2.
> >
> >Pequeno detalhe: na epoca usei L'Hopital-Bernoulli mas ai nao tinha
> >graça...
> >Agora eu queria que ces me ajudassem nesse sentido:demonstrar
> >elementarmente essa coisinha.Ai pensei em usar serie de Taylor e consegui
> >resolver, mas ainda e complicado (nada que toque em derivadas nem muito
> >alem!!!!).
> >Mas ai me veio uma ideia: que! tal adaptar Taylor?Assim:provar que
> >x-x^3/3!+x^5/5! e a melhor aproximaçao de um polinomio de grau 5 de sen x
>e
> >depois algo parecido com xcos x, e demonstrar tudo a prtir dai...
> >Captaram?E entao, alguma ajuda?
> >
> >Ass.:Johann
> >
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>Para baixo....
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>Mais um pouco
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>Pra so um bocadinho....
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>agora foi!
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>Bem, escrevi assim:
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>f(x)=(x*cos(x)-sen(x))/x^3
>
>Tente escrever f(2x) em funçao de f(x) e mais uns trambolhos que tendem a
>algo que ce nao sabe
>
>Primeiro calculamos lim (x->0) ((x-senx)/(x^3)) ( pois e , isso aparece
>sim!) .Veja que se substituirmos x por 3x, podemos abrir tudo e escrever
>como f(x) mais algo que tende a 1 vezes uma constante facil de determinar
>(bem, use o fato dde que sen 3x= 3 sen x - 4 (sen x)^3 ou algo parecido....
>)
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