Re: [obm-l] Re: [obm-l] Limite de duas variáveis

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

Oi, Artur:

Acho que temos que supor que o dominio de f nao inclui os eixos.
Caso contrario, f nao estaria sequer definida.

Agora, sabemos que para todo z real, arctg(z) = z + O(z^3) ==>
para todo z <> 0, arctg(z)/z = 1 + O(z^2).

Pondo z = xy, ficamos com:
f(x,y) = arctg(xy)/(xy) = 1 + O(x^2y^2), para todo (x,y) no dominio de f

Assim, seja lah como for que (x,y) -> (0,0), desde que por um caminho
inteiramente contido no dominio de f, teremos x^2y^2 -> 0 e, portanto,
arctg(xy)/(xy) -> 1.

O que voce acha?

[]s,
Claudio.

on 01.04.04 14:47, Artur Costa Steiner at artur@opendf.com.br wrote:

> Eu acho que, a rigor, este limite naum existe mesmo. Em qualquer bola aberta
> centrada em (0,0), temos que xy se anula para algum ponto (x,y)<>(0,0).
> Basta que uma das componentes se anule e a outra naum, o que ocorre em
> qualquer bola de centro em (0,0) para pontos sobre os eixos. Em tais pontos,
> f naum eh definida e as condicoes requeridas pela definicao de limite naum
> podem ser satisfeitas.
> O limite, entretanto, torna-se defato 1 se definirmos que, ao menos em uma
> vizinhanca deletada da origem (uma vizinhanca da origem sem a origem),
> f(x,y) =1 sempre que xy =0.  Em (0,0) f pode nao existir ou ser definida
> como o que quer que seja, sem afetar o limite.
> Artur
> 
> --------- Mensagem Original --------
> De: obm-l@mat.puc-rio.br
> Para: "OBM" <obm-l@mat.puc-rio.br>
> Assunto: [obm-l] Limite de duas variáveis
> Data: 01/04/04 06:01
> 
> Pessoal,
> 
> Esse é um problema do meu livro que me deixou intrigado.
> 
> Temos a função f(x,y) = arctan(xy)/(xy).
> Se 1 - x^2*y/3 < f(x,y) < 1, o que podemos dizer de limite de f(x,y) quando
> (x,y) -> (0,0)?
> 
> Minha tentativa foi passar os limites nos três membros da inequação:
> 
> lim_(x,y)->(0,0) 1 - x^2*y/3 = 1 e lim_(x,y)->(0,0) 1 = 1
> 
> Logo 1 < lim f(x,y) < 1. Na minha interpretação, tal limite não existe, pois
> não existe um real L que seja estritamente menor e estritamente maior que 1,
> ao mesmo tempo. O problema é que o livro diz que o tal limite é realmente 1.
> 
> Como proceder?
> 
> Grato,
> Henrique.
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