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[obm-l] =?Windows-1252?Q?Re:_=5Bobm-l=5D_Polin=F4mio_Irredut=EDvel?=



Title: Help
Eu formulei mal a minha dúvida abaixo, pois é claro que existem casos mais ou menos óbvios onde o resultado não é verdade. Por exemplo, f(x) = x - a^k, com a em F e k > 1 ==> f(x^m) será redutível se mdc(m,k) > 1.
 
A dúvida surgiu ao tentar calcular o polinômio mínimo de (2^(1/3) - i)^(1/2):
x = (2^(1/3) - i)^(1/2) ==>
x^2 + i = 2^(1/3) ==>
x^6 + 3ix^4 - 3x^2 - i = 2 ==>
(x^6 - 3x^2 - 2)^2 = -(1 - 3x^4)^2 ==>
x^12 + 3x^8 - 4x^6 + 3x^4 + 12x^2 + 5 = 0
 
Olhando essa equação em Z_3, obtemos:
x^12 + 2x^6 + 2 = 0.
 
Foi aí que surgiu a dúvida, pois f(x) = x^2 + 2x + 2 é irredutível sobre Z_3.
A partir disso, podemos concluir que f(x^6) = x^12 + 2x^6 + 2 também é?
 
[]s,
Claudio.
----- Original Message -----
Sent: Wednesday, March 31, 2004 12:34 PM
Subject: [obm-l] Polinômio Irredutível

Oi, pessoal:
 
Tenho a seguinte dúvida:
Se F é um corpo e f(x) é um polinômio irredutível sobre F, então é verdade que, para cada inteiro positivo n, o polinômio g(x) = f(x^n) também é irredutível sobre F?
 
Se for verdade, isso vale pra qualquer corpo?
 
Agradeço qualquer ajuda.
 
[]s,
Claudio.