Re: [obm-l] Numeros construtiveis

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxx>]

On Sun, Mar 28, 2004 at 04:05:17PM -0300, Claudio Buffara wrote:
> Eu sei que se um numero real eh construtivel com regua e compasso (a partir
> de um segmento unitario dado), entao ele eh raiz de um polinomio irredutivel
> com coeficientes racionais e grau igual a uma potencia de 2.
> 
> Minha pergunta: Vale a reciproca? Ou seja, qualquer numero real que seja
> raiz de um polinomio irredutivel de coeficientes racionais e grau igual a
> alguma potencia de 2 eh construtivel?

NÃO.

Seja p = x^4 + 2*x^2 + 2*x - 2; este polinômio é irredutível
e tem duas raízes reais aproximadamente iguais a -1.139037348
e .5905066741. Pedindo ao maple para resolver a equação p(x) = 0 temos:

> solve(p,x);
bytes used=3000824, alloc=1441528, time=0.35
                       /                    1/2        \1/2
     1/2   1/2         |24 %4 + 3 %3 - 60 %1    + 36 %2|
1/6 3    %1    + 1/6 I |-------------------------------|   ,
                       |               1/2 1/3   1/2   |
                       \  (206 + 6 1401   )    %1      /

                           /                    1/2        \1/2
         1/2   1/2         |24 %4 + 3 %3 - 60 %1    + 36 %2|
    1/6 3    %1    - 1/6 I |-------------------------------|   ,
                           |               1/2 1/3   1/2   |
                           \  (206 + 6 1401   )    %1      /

                           /                     1/2        \1/2
           1/2   1/2       |-24 %4 - 3 %3 + 60 %1    + 36 %2|
    - 1/6 3    %1    + 1/6 |--------------------------------|   ,
                           |                1/2 1/3   1/2   |
                           \   (206 + 6 1401   )    %1      /

                           /                     1/2        \1/2
           1/2   1/2       |-24 %4 - 3 %3 + 60 %1    + 36 %2|
    - 1/6 3    %1    - 1/6 |--------------------------------|
                           |                1/2 1/3   1/2   |
                           \   (206 + 6 1401   )    %1      /

                      1/2 1/3                1/2 2/3
      -4 (206 + 6 1401   )    + (206 + 6 1401   )    - 20
%1 := ---------------------------------------------------
                                  1/2 1/3
                     (206 + 6 1401   )

       1/2              1/2 1/3
%2 := 3    (206 + 6 1401   )

        1/2              1/2 2/3
%3 := %1    (206 + 6 1401   )

                   1/2 1/3   1/2
%4 := (206 + 6 1401   )    %1

Observe que isto está cheio de raízes cúbicas.

O grupo de Galois de p é S4, com 24 elementos. Assim o corpo Q[x1,x2,x3,x4],
onde x1, x2, x3, x4 são as raízes de p, tem dimensão 24 como Q-espaço vetorial.
A demonstração que você viu prova que qualquer número construtível com régua
e compasso pertence a um corpo *normal* cuja dimensão é uma potência de 2.

A condição se-e-somente-se correta aliás é esta.
Dado um número algébrico x, seja K o corpo gerado por Q, x
e todos os conjugados de x. Seja f(n) a dimensão de K sobre Q.
Então x é construtível se e somente f(n) é potência de 2.

[]s, N.
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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