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Re: [obm-l] Integral - Cardióde



Title: Re: [obm-l] Integral - Cardióde
on 23.03.04 12:34, Roney Kevin at roneykevin@yahoo.com.br wrote:

Agradeço a Johann Peter por ter tentado me ajudar.
No entanto, mesmo assim não consegui fazer a questão
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  achar o volume do corpo formado pela rotação da cardióde r = a(1+cos teta) em torno do eixo polar.
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Estou pagando Calculo I, to terminando o semstre agora. Sendo que o professor passou uma lista de questões como a mostrada acima. O problema é que eu fui pedir ajuda a ele e ele mesmo se enrolou não acertou fazer. Vasculhei na internet pra ver se conseguia encontrar algo que me ajudasse, porém o melhor q consegui foi um site q me fornecia uma fórmula para calcular o volume envolvendo coordenadas polares, ate ai otimo se nao fosse o detalhe de q  a formúla usa integral dupla e ate  agora em Calculo I so vemos ate a integral unica.
Sei q o objetivo da lista não e pra tratar de problemas como o meu, no entanto apela a vcs(tipo off-topic) por nao ter mais ninguem pra pedir ajuda.

Será q essa questao realmente dá pra fazer usando apenas uma integral?

Por favor quem poder me ajudar eu agradeço,
Roney Kevin

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Oi, Roney:

Esse problema eh mais interessante do que a maioria dos que aparecem na lista e a ideia do Dirichlet de usar o teorema de Pappus me parece a mais simples. Tambem acho lamentavel o seu professor passar um problema que ele mesmo nao consegue fazer. Isso pode acontecer a nivel de mestrado ou doutorado, mas em Calculo I?....

A area que vai ser rodada em torno do eixo polar eh a metade de cima da cardioide, ou seja, a area delimitada pelo eixo polar e pela curva R = a*(1 + cos(t)) com t variando de 0 a Pi.

Seja A esta area (igual a metade da area da cardioide).
Seja d a distancia do baricentro dessa metade ao eixo polar.

Entao, V = 2*Pi*d*A.

Mas d*A pode ser calculado por meio de uma integral dupla, como se segue:

O elemento de area em coordenadas polares eh:
dA = R*dR*dt  (t = angulo).

Voce quer integrar y*dA sobre a metade de cima da cardioide, onde y eh a distancia vertical do baricentro de dA ateh o eixo polar.
Se este baricentro tem coordenadas (R,t), entao y = R*sen(t).

Os limites de integracao sao simples de se determinar:
Para cada t entre 0 e Pi, integre os dR de R = 0 a R = a*(1 + cos(t)), ou seja, da origem ateh a borda da cardioide.
Depois, integre os dt de t = 0 a t = Pi.

Logo, a integral de que falamos eh a seguinte:
Int( t = 0...Pi ; R = 0...a*(1+cos(t)) ) y*dA =
Int( t = 0...Pi ; R = 0...a*(1+cos(t)) ) R*sen(t)*R*dR*dt =
Int( t = 0...Pi ) sen(t)*( Int( R = 0...a*(1+cos(t)) ) R^2*dR )*dt =
Int( t = 0...Pi ) sen(t)*(a^3/3)*(1+cos(t))^3*dt

Agora, faca a mudanca de variavies u = 1+cos(t).
Entao, teremos:
du = -sen(t)*dt
t = 0 ==> u = 2; t = Pi ==> u = 0

Logo, a integral (sobre u) ficarah:
Int( u = 2...0 ) (a^3/3)*u^3*(-du) =
(a^3/3)*Int( u = 0...2 ) u^3*du =
(a^3/3)*(16/4 - 0/4) =
4*a^3/3.

Ou seja d*A = 4*a^3/3 e, portanto:
V = 2*Pi*d*A = 8*Pi*a^3/3.


[]s,
Claudio.