), algo assim na lista.Queria ate saber como Dedekind era bom em facas para cortes de reais...Claudio Buffara <claudio.buffara@terra.com.br> wrote:
on 17.03.04 22:11, Rafael at cyberhelp@bol.com.br wrote:
> Pessoal,
>
> Eu estava lendo que existe um estudo sobre n�meros complexos, no qual um
> n�mero complexo z = a + bi pode ser tratado como uma matriz quadrada 2x2 da
> forma: a_11 = a; a_12 = -b; a_21 = b; a_22 = a. Todas as propriedades dos
> n�meros complexos poderiam ser obtidas atrav�s de matrizes, resultando em
> processos que transformam as caracter�sticas geom�tricas dos n�meros
> complexos em algo simples.
>
> At� agora, notei que a raiz quadrada do determinante da matriz � o m�dulo de
> z. Algu�m conhece mais sobre o assunto? Como se chama esse estudo?
>
Esse eh um exemplo de isomorfismo, no caso entre dois corpos (conjuntos
munidos de duas operacoes sujeitas as mesmas regras que, digamos, o conjunto
dos racionais com adicao e multiplicacao).
Um isomorfismo entre os corpos A e B eh uma bijecao f: A -> B tal que f(x+y)
= f(x)+f(y) e f(xy) = f(x)f(y) para quaisquer x, y em A.
No seu caso, A = corpo dos complexos, munido das duas operacoes usuais -
adicao e multiplicacao) e B = corpo das matrizes reais 2x2 da forma descrita
acima, munido das operacoes de adicao e multiplicacao de matrizes.
Por exemplo, o polinomio caracteristico da matriz:
a -b
b a
eh p(x) = x^2 - 2ax + a^2 + b^2.
Uma das raizes eh justamente a + bi.
A existencia desse isomorfismo diz que, para todos os efeitos, pelo menos
quanto ao comportamento algebrico dos seus elementos, A e B sao "o mesmo"
corpo.
[]s,
Claudio.
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Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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