Re: [obm-l] Ordem nos Reais

["Cláudio \(Prática\)" <claudio@xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx>]

----- Original Message -----
From: "Nicolau C. Saldanha" <nicolau@mat.puc-rio.br>
To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
Sent: Wednesday, March 17, 2004 3:14 PM
Subject: Re: [obm-l] Ordem nos Reais


> On Wed, Mar 17, 2004 at 03:00:15PM -0300, Cláudio (Prática) wrote:
> > Mas o que acontece se a ordem for diferente?
> >
> > Por exemplo, suponha que particionamos os reais (R) em racionais (Q) e
> > irracionais (R - Q) e definimos uma ordem (<#) tal que:
> > 1) se x, y pertencem a Q ou x, y pertencem a R - Q, então:
> > x <# y <==> x < y (ordem usual)
> > 2) se x pertence a R - Q e y pertence a Q, então x <# y.
> >
> > Ou seja, cada irracional é menor do que cada racional e dois irracionais
ou
> > dois racionais são comparados da forma usual.
> >
> > Agora considere o conjunto A = { -raiz(2)/n | n é inteiro positivo}.
Cada
> > elemento de A é irracional. Logo, A é limitado superiormente (por
exemplo,
> > por cada racional).  Pergunta: Qual o supremo de A?
>
> Não tem supremo, claro.
>
> Mas o que você fez foi um pouco violento demais. Você definiu uma ordem
> que não respeita as operações + e *: dessa forma, a única coisa que sobra
> é a cardinalidade e você pode botar um monte de ordens completamente
> diferentes nos reais. Você pode, por exemplo, fazer com que R fique
> bem ordenado (todo subconjunto não vazio tem mínimo).
>
> No caso dos reais, a única relação de ordem que faz de R um corpo ordenado
> é a usual.
Ou seja, com qualquer outra ordem, você não consegue obter um conjunto P
fechado em relação a + e *?
É fácil demonstrar isso?

> Isto também acontece para o conjunto dos reais algébricos mas
> não acontece para, por exemplo Q[sqrt(2)]. Neste outro corpo existe uma
outra
> ordem (além da definida pela inclusão em R) que também satisfaz os axiomas
> de corpo ordenado, e acho que vocês não terão dificuldade em encontrá-la.
Isso é interessante.

Uma ordem é definida com base no conjunto P = {a + b*raiz(2) | a + b*raiz(2)
é real positivo} e é meio óbvio de ver que se x, y pertencem a P, então x+y
e x*y pertencem a P.

A outra é definida com base em P* = {a + b*raiz(2) | a - b*raiz(2) pertence
a P}

Pra simplificar, vamos fazer w = raiz(2).

a + bw = 0 <==> a = b = 0 <==> a - bw = 0.

Suponha que a + bw <> 0 mas não pertence a P*.
Então a - bw não pertence a P ==>
-(a - bw) = -a - (-b)w pertence a P ==>
-(a + bw) = -a + (-b)w pertence a P*.
Logo, se x pertence a Q[raiz(2)], então x = 0, ou x pertence a P* ou -x
pertence a P* e estas três alternativas são mutuamente exclusivas.

Sejam a + bw e c + dw pertencentes a P*.
Então, a - bw e c - dw pertencem a P.
Logo:
(a - bw) + (c - dw) = (a + c) - (b + d)w pertence a P ==>
(a + c) + (b + d)w = (a + bw) + (c + dw) pertence a P*
Também:
(a - bw)*(c - dw) = (ac + bd) - (ad + bc)w pertence a P ==>
(ac + bd) + (ad + bc)w = (a + bw)(c + dw) pertence a P*.
Ou seja, a ordem definida com base em P* também preserva as operações + e *.

Obrigado pela explicação.

[]s,
Claudio.

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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