Re: [obm-l] Ordem nos Reais

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxx>]

On Wed, Mar 17, 2004 at 03:00:15PM -0300, Cl�udio (Pr�tica) wrote:
> Mas o que acontece se a ordem for diferente?
> 
> Por exemplo, suponha que particionamos os reais (R) em racionais (Q) e
> irracionais (R - Q) e definimos uma ordem (<#) tal que:
> 1) se x, y pertencem a Q ou x, y pertencem a R - Q, ent�o: 
> x <# y <==> x < y (ordem usual)
> 2) se x pertence a R - Q e y pertence a Q, ent�o x <# y.
> 
> Ou seja, cada irracional � menor do que cada racional e dois irracionais ou
> dois racionais s�o comparados da forma usual.
> 
> Agora considere o conjunto A = { -raiz(2)/n | n � inteiro positivo}.  Cada
> elemento de A � irracional. Logo, A � limitado superiormente (por exemplo,
> por cada racional).  Pergunta: Qual o supremo de A?

N�o tem supremo, claro.

Mas o que voc� fez foi um pouco violento demais. Voc� definiu uma ordem
que n�o respeita as opera��es + e *: dessa forma, a �nica coisa que sobra
� a cardinalidade e voc� pode botar um monte de ordens completamente
diferentes nos reais. Voc� pode, por exemplo, fazer com que R fique
bem ordenado (todo subconjunto n�o vazio tem m�nimo).

No caso dos reais, a �nica rela��o de ordem que faz de R um corpo ordenado
� a usual. Isto tamb�m acontece para o conjunto dos reais alg�bricos mas
n�o acontece para, por exemplo Q[sqrt(2)]. Neste outro corpo existe uma outra
ordem (al�m da definida pela inclus�o em R) que tamb�m satisfaz os axiomas
de corpo ordenado, e acho que voc�s n�o ter�o dificuldade em encontr�-la.

[]s, N.
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Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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