Re: [obm-l] Pentagono regular (com trigonometria)

[Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet <peterdirichlet2002@xxxxxxxxxxxx>]

Ja to cheio de so escrever, e hora de eu mostrar
alguma coisa!!!!Agora tenho que mostrar (de novo)
o meu valor!!!!

Pegue O, centro da circunferencia, e designe SPDG
(WLOG) raio=1/2.Entao, tomando os menores
angulos, 
MB=sen (MOB)/2=sen (36+e)
MD=sen (MOD)/2=sen (108+e)=sen (72-e)
MA=sen (MOA)/2=sen (e)
MC=sen (MOC)/2=sen (72+e)
ME=sen (MOE)/2=sen (144+e)=sen (36-e)

SE MOA=2e, temos como achar os outros angulos
rapidinho.Se tudo for em graus, temos os lados
mais a direita das igualdades.E se alguns numeros
sao grandes uma boa e reduzir 180 de cada.
Pensando na simetria, vamos calcular
MA-MB+MC-MD+ME
Isto da 
sen (e)-sen (36+e)+sen (72+e)-sen (72-e)+sen
(36-e)
=sen (e)- 2*sen (e)*cos(36)+ 2*sen (e)*cos (72)
=sen (e)*(2*cos (72)-2*cos (36)+1)
=sen (e)*2*(1-4*sen(18)*sen(54)))

Agora nao e mais necessario fazer muita coisa
para provar que 4*sen (18)*sen (54)=1.Talvez usar
geometria para calcular sen (36), algo que eu, o
Claudio e muita gente ja fizemos aqui na lista, e
usar como arma para provar isso ai.
E entao, foi dificil?Ficou de algum modo
deselegante?

Ah, so para provocar mesmo:demonstre o Porisma de
Poncelet para n=3 (se seis pontos sao tais que
tres deles formam um triangulo com o mesmo
incirculo do triangulo formado pelos outros tres
pontos, e cinco desses pontos sao conciclicos,
entao os seis pontos sao conciclicos).Vamos,
demonstre ai, vai!!!!!

--- Claudio Buffara
<claudio.buffara@terra.com.br> escreveu: > on
14.03.04 01:36, Claudio Buffara at
> claudio.buffara@terra.com.br wrote:
> 
> on 13.03.04 22:30, Guilherme Pimentel at
> guigousrj@globo.com wrote:
>  
> ABCDE é um pentágono regular inscrito numa
> circunferência e M é um ponto
> qualquer do arco AE. Demonstrar que
> MB+MD=MA+MC+ME
>  
> 
> Tambem descobri uma solucao usando complexos.
> 
> Suponha que o circulo eh unitario e centrado na
> origem e que os vertices
> sao:
> A = 1, B = w^2, C = w^4, D = w^6 e E = w^8,
> onde w = exp(i*Pi/5).
> 
> Faca M = z e observe que:
> (1)   z - 1 = (MA/MA)*(z - 1)
> (2)   z - w^2 = (MB/MA)*(z - 1)*w
> (3)   z - w^4 = (MC/MA)*(z - 1)*w^2
> (4)   z - w^6 = (MD/MA)*(z - 1)*w^3
> (5)   z - w^8 = (ME/MA)*(z - 1)*w^4
> 
> Em seguida, elimine o fator w^k do lado direito
> de cada equacao, levando em
> conta que w^10 = 1 <==> w^(-1) = w^9 <==>
> w^(-2) = w^8 <==> etc.
> 
> Finalmente, some as equacoes 1, 3 e 5 e
> subtraia delas as equacoes 2 e 4.
> Um pouquinho de algebra e voce chega lah...
> 
> []s,
> Claudio.
> 
>  

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