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RE: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Seqüência
Professor mandei a sequencia a seguir como exemplo de sequencia, a meu ver,
totalmente sem graca porque a solucao que me foi dada so faz sentido em
portugues... o senhor pode verificar no maple uma alternativa matematica?
Qual o proximo numero da sequencia:
1,10,2,5,4,14,19,...
Resposta (ridicula): 16
>From: "Nicolau C. Saldanha" <nicolau@mat.puc-rio.br>
>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>To: obm-l@mat.puc-rio.br
>Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Seqüência
>Date: Fri, 12 Mar 2004 11:20:29 -0300
>
>On Thu, Mar 11, 2004 at 10:47:21PM -0500, Faelccmm@aol.com wrote:
> > Para o Nicolau ou quem souber,
> >
> > [... Dados n pontos (x1, y1), ..., (xn, yn) no plano com xis distintos,
> > sempre existe um único polinômio p de grau < n tal que p(xi) = yi...]
> >
> > Poderiam me dar um exemplo de uma sequencia qualquer apenas para
>visualizar
> > melhor o que esta acima ? Pois esta relacao entre [[[sequencia X
>polinomios X
> > geometria analitica]]] foi bem interessante.
>
>Defina
>qi(x) = (x - x1)(x - x2) ... (x - x_{i-1})(x - x_{i+1}) ... (x - xn)
>Note que qi é um polinômio de grau (n-1) com raízes
>x1, x2, ..., x_{i-1}, x_{i+1}, ..., xn. Ou seja,
>qi(xj) = 0 se i for diferente de j e qi(xi) é diferente de 0.
>Defina ri(x) = qi(x)/qi(xi): temos ri(xj) = [ i = j ] (notação de Iverson),
>ou seja, 1 se i = j e 0 caso contrário.
>Finalmente, defina p(x) = y1 r1(x) + y2 r2(x) + ... + yn rn(x).
>Claramente p(xi) = yi para todo i e p é um polinômio de grau <= n-1.
>
>Suponha agora que p1(xi) = yi para todo i. Temos (p1 - p)(xi) = 0 para
>todo i donde (p1 - p)(x) = s(x)(x-x1)(x-x2)...(x-xn) para algum polinômio
>s.
>Assim ou p1 = p (se s = 0) ou grau(p1 - p) >= n (se s for diferente de 0).
>O segundo caso implica grau(p1) >= n. Isto prova o que eu afirmei.
>
>O maple tem a função interp que obtem este polinômio p.
>Digamos que você deseje obter uma seqüência que comece assim:
>2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,...
>Bem, talvez esta seqüência seja um polinômio. Como demos 11 termos,
>podemos encontrar um único polinômio p de grau <= 10 tal que
>p(1) = 2, p(2) = 3, p(3) = 5, ..., p(11) = 31.
>O comando para encontrar este polinômio no maple é:
>
>p := interp([1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11],[2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31],x);
>
>A que o maple responde com:
>
> 457 10 5501 9 3001 8 358907 7 4825441 6 5944169
> 5
>p := ------- x - ------ x + ----- x - ------ x + ------- x - -------
>x
> 3628800 725760 15120 120960 172800 34560
>
> 253180001 4 331321657 3 16361409 2 1282409
> + --------- x - --------- x + -------- x - ------- x + 900
> 362880 181440 5600 504
>
>Ou seja,
>p = (457 x^10 - 27505 x^9 + 720240 x^8 - 10767210 x^7 + 101334261 x^6
>- 624137745 x^5 + 2531800010 x^4 - 6626433140 x^3 + 10602193032 x^2
>- 9233344800 x + 3265920000)/3628800.
>
>Assim, os primeiros 20 termos da seqüência são claramente:
>
>2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 838, 8440, 48141, 200229,
>677006, 1972016, 5126743, 12178361, 26874761, ...
>
>Bem, talvez você consiga pensar em alguma outra seqüência com
>aqueles primeiros 11 termos, mas você não tem como negar que a minha
>resposta está correta. ;-)
>
>[]s, N.
>
>
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>Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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