Re: [obm-l] Ideal Maximal

["Cláudio \(Prática\)" <claudio@xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx>]

Obrigado, Nicolau!

Eu estava assumindo implicita e erroneamente que todo ideal de Z_4[x] eh
principal, mas checando meus alfarrábios, vejo que A[x] só será um PID se A
for um corpo. Aliás, o mesmo exemplo com Z ao invés de Z_4 mostra que mesmo
que A seja um domínio de integridade (mas não um corpo), A[x] não será
necessariamente um PID (apesar de ser um domínio de integridade).

Aos poucos estas idéias vão se assentando...

Um abraço,
Claudio.

----- Original Message -----
From: "Nicolau C. Saldanha" <nicolau@mat.puc-rio.br>
To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
Sent: Monday, March 01, 2004 1:11 PM
Subject: Re: [obm-l] Ideal Maximal


> On Mon, Mar 01, 2004 at 11:09:44AM -0300, Claudio Buffara wrote:
> > Sejam:
> > Z_4 = anel dos inteiros mod 4
> > e
> > Z_4[x] = anel dos polinomios com coeficientes em Z_4.
> > O ideal <x^2 + 1> de Z_4[x] eh maximal?
> >
> > Eu diria que sim, dado que x^2 + 1 eh irredutival sobre Z_4, mas nesse
caso,
> > Z_4[x]/<x^2 + 1> seria um corpo, o que nao eh verdade, pois contem o
> > elemento 2 + <x^2 + 1>, o qual eh um divisor de zero.
> >
> > Onde estah o meu erro?
>
> O ideal J que você descreveu não é maximal, ele está contido no ideal
> J1 = <x^2 + 1, 2>. Aliás J1 também não é maximal, ele está contido
> em J2 = <x+1, 2> (pois x^2+1 = (x+1)^2 - 2x); J2 sim é maximal, e o
> quociente é Z/(2).
>
> O fato do polinômio p em A[x] ser irredutível não prova que o ideal <p>
> é maximal se A for um anel, isto só dá certo se A for um corpo.
>
> []s, N.
> =========================================================================
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> =========================================================================

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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