[obm-l] Re: [obm-l] Existe uma solução mais simples?

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxx>]

On Fri, Feb 27, 2004 at 05:23:46PM -0300, Danilo notes wrote:
> Seja A uma matriz quadrada  n x n tal que  3A^3=A^2+ A + I  prove que  
> (A^k)  converge para  B  tal que   B^2=B .   k   é numero   natural.

Os autovalores x de A devem todos satisfazer 3x^3 = x^2 + x + 1 ou
(x - 1)(3x^2 + 2x + 1) = 0. Assim x = 1 ou x = - 1/3 +- i sqrt(2)/3.
Observe que estes possíveis autovalores complexos têm módulo
menor do que 1. Mais do que isso, como este polinômio só tem raízes
simples a matriz A é necessariamente diagonalizável. Assim
A = M^{-1} D M onde M é uma matriz inversível e D é uma matriz
diagonal com entradas todas iguais a 1 ou - 1/3 +- i sqrt(2)/3.
Claramente o limite de D^k quando k tende a infinito é uma matriz
diagonal D' com entradas 1 e 0. Assim o limite de A^k é M^{-1} D' M.

[]s, N.
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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