Re: [obm-l] Mais um Outro Problema Legal

["Domingos Jr." <dopikas@xxxxxxxxxx>]

Bom, você obteve 10/11 então, se existe algo melhor deve existir uma caixa
com probabilidade acima de 10/11 de se pegar uma bola branca, suponha que a
caixa 1 possua probabilidade > 10/11 de se pegar uma bola branca, então:

se existem 0 bolas pretas, a probabilidade de se pegar bola branca é 1 >
10/11 e não tem porque deixar mais de uma bola branca na caixa, logo
deixamos apenas UMA.

não podem existir duas ou mais bolas nessa caixa, pois não há bolas brancas
o suficiente para compensá-las, pois b/(b+p) > 10/11 <=> 11b > 10b + 10p =>
b > 10p, mas b <= 16.

se existir uma bola preta então deve haver pelo menos 11 bolas brancas,
assim a probabilidade é >= 11/12 > 10/11

sobram então no máximo 7 bolas brancas e 5 bolas pretas para serem
arranjadas em duas caixas... uma caixa deve então conter pelo menos 3 bolas
pretas.

então temos que nessa caixa com pelo menos 3 bolas pretas a maior
probabilidade possível para obter uma bola branca é 6/(6+3) = 2/3
a probabilidade de pegar uma bola branca entre as três caixas é então < 1/3
* [2/3+1+1] = 8/9 < 10/11.

isso mostra que uma das caixas contém uma única bola branca.
sobram 17 brancas e 6 pretas para duas caixas.
na solução proposta conseguimos obter 1/3[1 + 16/22] nessas caixas.

se existe a solução ótima é diferente, então nas duas caixas há pelo menos
uma bola preta.

existe uma caixa com pelo menos 3 bolas pretas, logo
b/(b+3) > 8/11 <=> 11b > 8b + 24 => 3b > 24 => b >= 9 bolas brancas nessa
caixa, sobram no máximo 8 bolas para a outra caixa.

não podemos então ter 3 bolas em cada uma das duas caixas, pois não dá pra
colocar mais que 8 bolas em ambas.

resta testar colocar 4 bolas pretas em uma e 2 na outra e 5 bolas pretas e 1
na outra:
com 4 bolas devemos ter b/(b+4) > 8/11 => 3b > 32 => b >= 12
sobram no máximo 5 bolas brancas para a outra caixa, ou seja 5/7 de
probabilidade,  mas 5/7 < 8/11, logo tb não dá com 4 bolas.

com 5 bolas devemos ter b/(b+5) > 8/11 => 3b > 40 => b >= 14
sobram no máximo 3 bolas para a outra caixa, ou seja, a probabilidade máxima
é 3/4, mas nesse caso temos 3/4 + 14/19 < 1 + 8/11
se colocarmos 2 bolas na outra caixa temos 2/3 < 8/11 e acabamos com
qualquer outra solução!

ufa! esse foi bem braçal.

----- Original Message ----- 
From: "benedito" <benedito@digizap.com.br>
To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
Sent: Wednesday, February 25, 2004 2:45 PM
Subject: Re: [obm-l] Mais um Outro Problema Legal


A resposta está correta.
Uma parte interessante da questão é mostrar que a arrumação ideal é
justamente a que você sugeriu.
Benedito

----- Original Message -----
From: "Qwert Smith" <lord_qwert@hotmail.com>
To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
Sent: Wednesday, February 25, 2004 12:56 PM
Subject: RE: [obm-l] Mais um Outro Problema Legal



P(p) = 1 - P(m)

Me parece que a arrumacao ideal e C1( 1 bola branca ), C2( 1 bola Branca) e
C3( 16 b, 6 p )

P(m) = 1/3*6/22 = 1/11
P(p) = 1 - 1/11 = 10/11

=========================================================================
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=========================================================================