Re: [obm-l] Mais grupos

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxx>]

On Fri, Feb 20, 2004 at 01:44:59PM -0200, Nicolau C. Saldanha wrote:
> On Thu, Feb 19, 2004 at 01:43:51AM -0300, Claudio Buffara wrote:
> > 2) Seja G um grupo tal que o centralizador de cada elemento distinto da
> > identidade eh um grupo ciclico infinito. Nesse caso, G eh necessariamente um
> > grupo livre?
> 
> Não, mas eu não sei dar nenhum exemplo realmente fácil.
> O melhor que eu tenho a oferecer é o grupo fundamental do bitoro.
> Ele pode ser descrito por geradores e relações como <a,b,c,d|[a,b][c,d]=e>.

Acho que pouca gente entendeu a minha primeira mensagem, então vou descrever
o grupo de que estou falando de forma mais explícita. Mas não tenho certeza
se vai ajudar muito.

Tome a = 1 + sqrt(2) + sqrt((1 + sqrt(2))^2 - 1), c = cos(Pi/8), s = sen(Pi/8).
Tome 

    ( a    0 )
X = (        )
    ( 0   1/a)

    ( c   -s )
R = (        )
    ( s    c )

A = XRR, B = RXR, C = X'RR, D = RX'R (onde X' é a inversa de X).

O subgrupo de PSL(2,R) gerado por A, B, C, D é um contraexemplo
para a pergunta do Claudio.

Dá para verificar braçalmente (haja braço!) que B'ABA'D'CDC' = -I
(que é identificada com a identidade em PSL(2,R)), assim o grupo
não é livre.

Eu não sei demonstrar a outra condição (o centralizador de qq elemento
diferente da identidade é cíclico infinito) sem usar geometria hiperbólica.

[]s, N.
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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