Re: [obm-l] Mais grupos

[ronaldogandhi@xxxxxxxxx]

Em 19 Feb 2004, obm-l@mat.puc-rio.br escreveu: 

>Jah que o problema do automorfismo foi um fiasco, aqui vao mais dois: 
> 
>1) Prove que todo grupo finito eh um subgrupo maximal e nao-normal de algum 
>grupo finito. 
>Pro primeiro eu pensei em tentar uma demonstracao construtiva ou entao usar 
>o teorema de Cayley, mas ateh agora nao fiz nenhum progresso. 

Talvez vc já tenha feito isso, mas vou tentar uma 
demonstração meio "porca": 

   Em uma demonstração construtiva, vc 
terá que necessariamente 
adicionar elementos, pois a operação * do 
grupo (G,*) é fechada em G. 

Então temos que ter: 

1) (G,*) é subgrupo maximal de (G uniao H, *) e 
   G inter H = vazio. 
2) (G,*) não é normal a (G uniao H, *) 


   Seja então g \in G e h \in G. 
  Como (G uniao H,*) é um grupo, então temos que ter, 
digamos g*h1 \in H, mas h1*g \notin H, pois G não é 
subgrupo normal. 

 Seja  g*h1 com h1 \in H tal que h1 pertence 
somente a H.  Podemos colocar 
  g*h1 = h2 com h2 \in H.  Isto pode sempre ser feito 
pois o grupo (G uniao H,*) é finito. 
  h1 \in H ==> existe h2 = g*h1 \in H. 

 Seja h2 \in H, tal que h2 pertence somente a H. 
Há um h1 \in H tal que g*h1=h2. Isso também pode sempre 
ser feito pois o grupo (G uniao H,*) é finito.  Neste 
caso o coset a esquerda de G por elementos de H é o próprio 
H, logo o subgrupo não é normal. 
   Temos que provar agora que G é maximal.  Suponha 
que haja G1 tal que G <=G1<=H e G1 não é maximal. Neste 
caso como o coset G por elementos de H é o próprio H então 
um elemento pertencente a G1 deve estar em H (porque?), 
logo pela propriedade de grupo G1 = H. 

Pelo menos eu tentei............... 

  Ronaldo L. Alonso 

Um abraço. 

> 
>Pro segundo eu nao tenho a mais remota ideia. 
> 
>Qualquer ajuda serah bem vinda. 
> 
>Um abraco, 
>Claudio. 
> 
>========================================================================= 
>Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em 
>http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html 
>========================================================================= 
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