Re: [obm-l] Automorfismo de Grupo

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

on 18.02.04 16:29, Nicolau C. Saldanha at nicolau@mat.puc-rio.br wrote:

> On Wed, Feb 18, 2004 at 03:57:31PM -0300, Cláudio (Prática) wrote:
>> HelpOi, pessoal:
>> 
>> Aqui vai um que não está me parecendo muito trivial.
>> 
>> Sejam:
>> G: um grupo abeliano finito de ordem ímpar,
>> e
>> f: G -> G: uma bijeção tal que f(x^2) = f(x)^2 para todo x em G.
>> 
>> É verdade que f(x*y) = f(x)*f(y) para todos x, y em G ?
> 
> É falso.
> 
> Tome G = Z/(7), a operação * é + e a identidade é 0.
> Tome f dada por:
> 
> f(0) = 0
> f(1) = 1
> f(2) = 2
> f(3) = 6
> f(4) = 4
> f(5) = 3
> f(6) = 5
> 
> É fácil verificar que isto é um contraexemplo.
> 
> []s, N.

Verificado.
Entao, no fim das contas, era trivial!!!
O que nao ia ser muito trivial era demonstrar que f eh um automorfismo, como
eu estava tentando fazer...

Obrigado e um abraco,
Claudio.

****

Obviamente, f eh uma bijecao e |Z/(7)| = 7.

x  f(x)  2x  f(2x)  2f(x)
0   0    0     0     0
1   1    2     2     2
2   2    4     4     4
3   6    6     5     5
4   4    1     1     1
5   3    3     6     6
6   5    5     3     3
Logo, f(2x) = 2f(x) para todo x em Z/(7)

No entanto,
f(4+5) = f(2) = 2
f(4) + f(5) = 4 + 3 = 0 <> 2 ==>
f nao eh um homomorfismo.
 


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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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