[obm-l] Forma canonica...

["Rick" <rickardorios16@xxxxxxxxxxx>]

Antes de mais nada, gostaria de perguntar ao prof. Nicolau (ou a qualquer
outro membro que possa responder), se questoes de fisica (geralmente a parte
mais matematica) sao bem vindas na lista. Se nao, alguem poderia me indicar
uma outra lista ou site em que possa tirar as minhas duvidas sobre fisica.
Obrigado.

Deixando de enrolacao [ :) ], vamos ao assunto desse topico.

> > Aproveitando o ensejo, estou com mais uma duvida
> > neste exercicio:
> > 1)Dentre todos os numeros reais de soma 8 determine
> > aqueles cujo produto é
> > maximo.
> > O livro respondeu isso atribuindo o seguinte
> > sistema:
> > x+z=8  (I)    y=x.z (II)
> De fato, precisamos ter x+z =8. Hah sem duvida uma
> infinidade de reais x e z que satiafazem a esta
> igualdade. A cada par (x,z), temos associado um
> produto x.z, que o seu livro chamou de y.
Realmente, existem uma infinidade de numeros x e z que a satisfazem. Porem,
minha duvida era outra. Desta maneira temos dois termos (x e z), mas seria
possivel obter um produto maior utilizando mais termos cuja soma totalize em
8. Por exemplo, temos os numeros reais -6, -2, +16. A soma deles eh 8. Ja o
produto eh 192 (imensamente maior que o 16, valor atribuido como produto
maximo). Portanto, ja vemos que existem outros produtos superiores quando
usamos mais termos, por isso questionei o uso do livro de apenas dois
termos.


> Tecnicamente, temos uma funcao de R^2 em R dada por
> f(x,z) = y = xz. Queremos calcular seu minimo quando x
> e z satifazem aa particularidade de que x+z = 8, isto
> eh, queremos calcular o minimo de f quando a mesma
> esta restrita ao subconjunto de R^2 dado por {(x,z) :
> x+z =8}, o qual eh uma reta em R^2.
Hum... nao entendi muito bem o conjunto R^2. O que isso quer dizer, que os
valores do dominio dessa funcao estarao todos elevados ao quadrado?


>Neste caso, fica bem facil transformar este problema bidimensional em
> um unidimensional. De x+z =8, temos que z = 8-x e que
> y = xz = x(8-x). Vemos agora que y pode ser visto como
> uma funcao so de x, que no caso eh um trinomio do
> segundo grau. Jah temos a forma fatorada do mesmo e
> vemos que suas raizes sao 0 e 8. Vemos tambem que o
> coeficiente o 2o grau deste trinomio eh negativo, o
> que nos diz que ele tem um maximo relativo que, no
> caso de trinomios do segundo grau, eh maximo global.
Meus conhecimentos matematicos ainda desconhecem a existencia de outros
"maximos", alem daquele que eh representado pela ordenada do vertice da
parabola. ..Rs..

> Sabemos que o maximo de um trinomio com tais condicoes
> ocorre para x* = semi soma das raizes. Logo, x* =
> (0+8)/2 = 4. Isto nos conduz a z* = 8-4 =4 e a y* =
> x*.y* = 16. Esta conclusao eh geral, isto eh, se x+z
> =S, S>0, entao o maior valor do produto x.z ocorre
> para x* = z* = S/2. Este problema eh um classico e eh
> muitas vezes enunciado da seguinte forma: dentre todos
> os retangulos de mesmo perimetro, qual o de maior
> area? A resposta, pelo que vimos, eh o quadrado.
Bastante interessante esta conclusao, valeu mesmo!.

> Bom, para provarmos que a solucao a que chegamos e de
> fato a maxima, usamos normalmente o conceito de
> deriaada, do Calculo Diferencial. Você já  chegou a
> estudar este assunto?
Ainda nao, o unico contato que tive com derivadas foi em um livro de fisica.
Para explicar a velocidade instantanea, ele utilizou o conceito de limite e
em seguida abordou a expressao an.t^(n-1), isto em uma funcao do tipo
f(t)=a.t^n, onde a variavel era o tempo. Fora a explicacao superficial, e o
entendimento que tenho sobre limite, eu nao tenho a minima ideia do que
seja. Uma duvida: esse eh um assunto geralmete estudado na universidade ou
no ensino medio? Aqui na Bahia,  nao cheguei a ve-lo. (eu jah conclui)

> Sugestao: Outro problema bonito - dentre todos os
> retangulos de mesma area, qual o de menor perimetro?
> Dentre este retangulos, existe algum de maior
> perimetro?
Esse eu ainda tow pensando, assim que responder eu mando pra ca... :D

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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