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Renato,
Embora não haja como fazer um esboço do problema,
tentarei descrever ao máximo o meu raciocínio.
Após a construção da figura, teremos um
quadrilátero BPNC. Sabemos da Geometria que os ângulos BCN e BPN são
suplementares. Mas BCN é reto, pois C é vértice do quadrado ABCD. Logo, o ângulo
BPN também é reto.
Como AB = BC = CD = AD, os pontos M e N dividem AD
e CD em segmentos de mesma medida. AB é congruente a AD, o ângulo BAM
é congruente ao ângulo ADN, AM é congruente a DN, logo os triângulos
retângulos BAM e ADN são congruentes, pelo critério de congruência LAL. Dessa
forma, AN é congruente a BM.
Tomando a medida do lado do quadrado
ABCD por L e aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo BAM,
teremos:
(BM)^2 = (AM)^2 + (AB)^2 = (L/2)^2 + (L)^2
<=> BM = 5*sqrt(L)/2
Observando que o segmento AP é altura do triângulo
retângulo BAM, pois os ângulos APM e BPN são opostos pelo vértice P, aplicaremos
a relação que diz algo como "o produto dos catetos de um triângulo retângulo é
igual ao produto da sua hipotenusa e da altura (em relação à
hipotenusa)":
AB*AM = BM*AP <=> L*L/2 = 5*sqrt(L)/2*AP
<=> AP = L*sqrt(L)/5
Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo
retângulo APM:
(AP)^2 + (PM)^2 = (AM)^2 <=>
[L*sqrt(L)/5]^2 + (PM)^2 = (L/2)^2 <=> PM = L*sqrt(25-4L)/10
Por fim, a área A do triângulo APM será a metade do
produto de seus catetos:
A = AP*PM/2 = [L*sqrt(25-4L)/10]*[L*sqrt(L)/5]/2 =
L^2*sqrt(25L-4L^2)/100
Visto que o enunciado solicita a área A em função
de S e S = L^2, temos:
A = S*sqrt[25*sqrt(S)-4S]/100
É uma bonita questão, espero que a resolução esteja
correta.
Abraços,
Rafael de A. Sampaio
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