Re: [obm-l] Mais problemas Sobre Grupos

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

on 20.10.03 10:11, Paulo Santa Rita at p_ssr@hotmail.com wrote:
> > 
> 2) Seja G um grupo de ordem p^n, p primo e n >=3. Mostre que se o centro de
> G tem ordem p entao existe uma classe de conjugacao de ordem p.
> 
> Um Abraco a Todos
> Paulo Santa Rita
> 2,1012,201003
> 
Soh pra dar uma variada e tambem porque sao raros os problemas de algebra
nessa lista, vou tentar resolver o problema acima.

Sejam:
Z = centro de G = { x em G | yx = xy, para todo y em G};
Cl(a) = classe de conjugacao de a = { x*a*x^(-1) | x pertence a G};
C(a) = centralizador de a = { x em G | ax = xa }.

Como conjugacao eh uma relacao de equivalencia em G cujas classes de
equivalencia sao justamente as classes de conjugacao de G, G pode ser
particionado da seguinte forma:
G = Cl(a_1) U Cl(a_2) U ... U Cl(a_r), onde se i <> j entao a_i nao eh
conjugado de a_j.

As classes de conjugacao relativas aos elementos de Z sao conjuntos
unitarios, pois se a pertence a Z, entao x*a*x^(-1) = a*x*x^(-1) = a, ou
seja, se a pertence a Z, entao Cl(a) = {a}.

Dessa forma, podemos escrever |G| = |Z| + |Cl(a_1)| + ... + |Cl(a_r)|, onde
os a_i sao elementos de G - Z e tais que a_i nao eh conjugado de a_j se i <>
j.  Essa eh a chamada Equacao das Classes relativa ao grupo G. Eh claro que
|Cl(a_i)| > 1, para todo i, caso contrario a_i pertenceria a Z.

Um outro fato relevante eh que existe uma bijecao F entre o conjunto das
classes laterais ("cosets") relativas a C(a) e Cl(a), dada por:
F(x*C(a)) = x*a*x^(-1).
x*C(a) = y*C(a) <==>
y^(-1)*x pertence a C(a) <==>
y^(-1)*x*a = a*y^(-1)*x <==>
x*a*x^(-1) = y*a*y^(-1) <==>
F(x*C(a)) = F(y*C(a)) ==>
F estah bem definida e eh injetiva.
Alem disso, como x eh um elemento arbitrario de G, concluimos que F eh
sobrejetiva.

Isso quer dizer que |Cl(a)| = numero de classes laterais relativas a C(a) =
|G|/|C(a)|, pelo teorema de Lagrange. Alem disso, se |G| = p^n, entao |C(a)|
= p^k para algum k com 1 <= k <= n, ou seja, |Cl(a)| = p^(n-k). Repare que k
>= 1 pois C(e) = G e se a <> e, e e a pertencem a C(a) (e = identidade em G)

Da equacao das classes e levando em conta que |G| = p^n e |Z| = p, teremos:
p^n = p + p^(n-k_1) + ... + p^(n-k_r) ==>
p^(n-1) = 1 + p^(n-1-k_1) + ...+ p^(n-1-k_r) ==>
p^(n-1) = 1 + p^m_1 + ... + p^m_r   (fazendo m_i = n - 1 - k_i)   (***)

Suponhamos que m_i >= 2, para todo i. Como n >= 3, podemos re-escrever (***)
da seguinte forma:
1 = p^2*(p^(n-3) + p^(m_1-2) + ... + p^(m_r-2)).
Como a soma entre parenteses eh inteira, concluimos que p^2 divide 1 ==>
contradicao ==>
m_i = 1 para algum i ==>
|Cl(a_i)| = p


Um abraco,
Claudio.

=========================================================================
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=========================================================================